数学1 データの分析 問題 9 解説

方針・初手

平均と標準偏差の定義または公式を用いて、$a+b+c$ および $a^2+b^2+c^2$ の値を求める。さらに、対称式の性質を利用して $ab+bc+ca$ の値を計算する。

解法1

$3$ つの数 $a, b, c$ の平均値が $14$ であるから、

$$\frac{a+b+c}{3} = 14$$

$$a+b+c = 42$$

が成り立つ。

また、標準偏差が $8$ であることから、分散は $8^2 = 64$ である。 データの分散は「（$2$乗の平均）$-$（平均の$2$乗）」で求められるため、

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{3} - 14^2 = 64$$

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{3} - 196 = 64$$

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{3} = 260$$

よって、

$$a^2+b^2+c^2 = 780$$

である。

次に、乗法公式 $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ を用いる。 これに $a+b+c=42$ および $a^2+b^2+c^2=780$ を代入すると、

$$42^2 = 780 + 2(ab+bc+ca)$$

$$1764 = 780 + 2(ab+bc+ca)$$

$$2(ab+bc+ca) = 984$$

したがって、

$$ab+bc+ca = 492$$

となる。

解説

「データの分析」における分散の計算公式と、「数と式」における対称式の変形を組み合わせた基本問題である。 分散を求める際、定義通りに偏差の平方和を計算するのではなく、公式である（分散）＝（$2$乗の平均）$-$（平均の$2$乗）を用いることで、計算量を大幅に減らすことができる。 なお、問題文には「$a, b, c$ は正の数」という条件があるが、今回の設問の値を求める過程では直接使用しなくても解くことが可能である。

答え

ア: $780$

イ: $492$