数学B 推定 問題 5 解説

方針・初手

A産の大豆であるかどうかを、確率 $p$ のベルヌーイ試行とみなす。標本数を $n$、標本比率を $\hat p$ とすると、$n$ が十分大きいとき、母比率 $p$ の95％信頼区間は正規近似により

$$ \hat p \pm 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $$

で与えられる。

ここでは $p \simeq 0.2$ と考えられているので、$p(1-p)$ を $0.2 \cdot 0.8$ として、信頼区間の幅が $0.02$ 以下になるように $n$ を決める。

解法1

標本比率 $\hat p$ の標準誤差は

$$ \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $$

である。

95％信頼区間の半幅は

$$ 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $$

だから、信頼区間全体の幅は

$$ 2 \cdot 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $$

である。

問題ではこの幅を $0.02$ 以下にしたいので、

$$ 2 \cdot 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \leqq 0.02 $$

を満たせばよい。

いま $p \simeq 0.2$ より、

$$ p(1-p) \simeq 0.2 \cdot 0.8 = 0.16 $$

である。したがって、

$$ 2 \cdot 1.96\sqrt{\frac{0.16}{n}} \leqq 0.02 $$

となる。

両辺を整理すると、

$$ 3.92\sqrt{\frac{0.16}{n}} \leqq 0.02 $$

であり、

$$ \sqrt{\frac{0.16}{n}} \leqq \frac{0.02}{3.92} $$

である。両辺を2乗して、

$$ \frac{0.16}{n} \leqq \left(\frac{0.02}{3.92}\right)^2 $$

となるから、

$$ n \geqq 0.16\left(\frac{3.92}{0.02}\right)^2 $$

である。

ここで

$$ \frac{3.92}{0.02}=196 $$

だから、

$$ n \geqq 0.16 \cdot 196^2 $$

となる。

$$ 196^2=38416 $$

より、

$$ n \geqq 0.16 \cdot 38416 = 6146.56 $$

である。

したがって、必要な標本数は

$$ n \geqq 6147 $$

である。

解説

この問題では、標本比率の信頼区間の幅を使って標本数を逆算する。

注意すべき点は、「信頼区間の幅」が半幅ではなく、上端と下端の差を表していることである。したがって、条件式は

$$ 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \leqq 0.02 $$

ではなく、

$$ 2 \cdot 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \leqq 0.02 $$

とする。

また、95％信頼区間を簡便に

$$ \hat p \pm 2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $$

と近似する場合は、

$$ 4\sqrt{\frac{0.16}{n}} \leqq 0.02 $$

より

$$ n \geqq 6400 $$

となる。したがって、概算としては $6400$ 粒程度といえる。

答え

厳密に $1.96$ を用いれば、

$$ 6147 \text{粒以上} $$

である。

95％信頼区間を約 $2$ 倍の標準誤差で見積もるなら、

$$ 6400 \text{粒程度} $$

である。