数学B 事象の独立 問題 1 解説

方針・初手

3回の硬貨投げでは、起こりうる結果をすべて書き出すのが最も確実である。表を $H$、裏を $T$ とすると、全事象は $8$ 通りで、それぞれ同様に確からしい。

解法1

全事象は

$$ HHH,\ HHT,\ HTH,\ HTT,\ THH,\ THT,\ TTH,\ TTT $$

の $8$ 通りである。

事象 $E$ は「1回目に表が出る」ことであるから、

$$ E={HHH,\ HHT,\ HTH,\ HTT} $$

である。よって、

$$ P(E)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} $$

である。

事象 $F$ は「少なくとも2回表が出る」ことであるから、

$$ F={HHH,\ HHT,\ HTH,\ THH} $$

である。よって、

$$ P(F)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} $$

である。

事象 $G$ は「3回とも同じ面である」ことであるから、

$$ G={HHH,\ TTT} $$

である。よって、

$$ P(G)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} $$

である。

次に、$E\cap F$ は「1回目に表が出て、かつ少なくとも2回表が出る」事象である。

$$ E\cap F={HHH,\ HHT,\ HTH} $$

したがって、

$$ P(E\cap F)=\frac{3}{8} $$

である。

また、$E\cap G$ は「1回目に表が出て、かつ3回とも同じ面である」事象である。

$$ E\cap G={HHH} $$

したがって、

$$ P(E\cap G)=\frac{1}{8} $$

である。

事象 $E$ と $F$ が独立であるための条件は、

$$ P(E\cap F)=P(E)P(F) $$

である。ここで、

$$ P(E)P(F)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4} $$

であるが、

$$ P(E\cap F)=\frac{3}{8} $$

なので、

$$ P(E\cap F)\ne P(E)P(F) $$

である。よって、$E$ と $F$ は独立ではない。

次に、事象 $E$ と $G$ について調べる。

$$ P(E)P(G)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8} $$

であり、

$$ P(E\cap G)=\frac{1}{8} $$

である。したがって、

$$ P(E\cap G)=P(E)P(G) $$

が成り立つので、$E$ と $G$ は独立である。

解説

独立性を調べるときは、直感だけで判断してはいけない。必ず

$$ P(A\cap B)=P(A)P(B) $$

が成り立つかどうかを確認する。

$E$ と $F$ については、1回目に表が出ると「少なくとも2回表が出る」可能性が高くなるため、独立ではない。

一方、$E$ と $G$ については、「3回とも同じ面である」とわかったとき、その結果は $HHH$ または $TTT$ の2通りであり、1回目が表である確率はその中でちょうど $\frac{1}{2}$ である。これはもとの $P(E)=\frac{1}{2}$ と変わらないため、独立である。

答え

(1)

$$ P(E)=\frac{1}{2},\quad P(F)=\frac{1}{2},\quad P(G)=\frac{1}{4} $$

$$ P(E\cap F)=\frac{3}{8},\quad P(E\cap G)=\frac{1}{8} $$

(2)

$$ P(E\cap F)=\frac{3}{8},\quad P(E)P(F)=\frac{1}{4} $$

より、$E$ と $F$ は独立ではない。

(3)

$$ P(E\cap G)=\frac{1}{8},\quad P(E)P(G)=\frac{1}{8} $$

より、$E$ と $G$ は独立である。