一橋大学 2007年 文系 第5問 問題

$1$ が書かれたカードが $1$ 枚，$2$ が書かれたカードが $1$ 枚，$\cdots$，$n$ が書かれたカードが $1$ 枚の全部で $n$ 枚のカードからなる組がある。

この組から $1$ 枚を抜き出し元にもどす操作を $3$ 回行う。抜き出したカードに書かれた数を $a,b,c$ とするとき，得点 $X$ を次の規則 (i)，(ii) に従って定める。

(i) $a,b,c$ がすべて異なるとき，$X$ は $a,b,c$ のうちの最大でも最小でもない値とする。

(ii) $a,b,c$ のうちに重複しているものがあるとき，$X$ はその重複した値とする。

$1\leqq k\leqq n$ をみたす $k$ に対して，$X=k$ となる確率を $p_k$ とする。

(1) $p_k$ を $n$ と $k$ で表せ。

(2) $p_k$ が最大となる $k$ を $n$ で表せ。