一橋大学 2016年 文系 第5問 問題

次の [I]，[II] のいずれか一方を選択して解答せよ。なお，解答用紙の所定の欄にどちらを選択したかを記入すること。

[I] 平面上の $2$ つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は零ベクトルではなく，$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角度は $60^\circ$ である。このとき

$r=\dfrac{|\vec{a}+2\vec{b}|}{|2\vec{a}+\vec{b}|}$

のとりうる値の範囲を求めよ。

[II] $x$ は $0$ 以上の整数である。次の表は $2$ つの科目 $X$ と $Y$ の試験を受けた $5$ 人の得点をまとめたものである。

科目 $X$ の得点は $x,6,4,7,4$，科目 $Y$ の得点は $9,7,5,10,9$ である。

(1) $2n$ 個の実数 $a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n$ について，$a=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k,\ b=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}b_k$ とすると，

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k-a)(b_k-b)=\sum_{k=1}^{n}a_kb_k-nab$

が成り立つことを示せ。

(2) 科目 $X$ の得点と科目 $Y$ の得点の相関係数 $r_{XY}$ を $x$ で表せ。

(3) $x$ の値を $2$ 増やして $r_{XY}$ を計算しても値は同じであった。このとき，$r_{XY}$ の値を四捨五入して小数第 $1$ 位まで求めよ。