数学1 データの分析 問題 3 解説

方針・初手

与えられたデータの平均値と分散の定義に従い、$a$ と $b$ に関する2つの条件式を立てる。分散を求める式は「（偏差の2乗の平均）」を用いる基本の定義式と、「（2乗の平均）$- $（平均の2乗）」を用いる公式の2通りがある。本問では平均値が $7$ という扱いやすい整数であるため、どちらの方針でも容易に計算できる。得られた連立方程式を解き、条件 $a \leqq b$ を満たすものを解とする。

解法1

データの個数は $8$ 個であり、その合計は $6 + 5 + 7 + 5 + 10 + 8 + a + b = 41 + a + b$ である。

平均値が $7$ であるから、以下の式が成り立つ。

$$\frac{41 + a + b}{8} = 7$$

これを整理すると、

$$41 + a + b = 56$$

$$a + b = 15 \quad \cdots (1)$$

次に、分散が $3$ であるという条件を用いる。分散は各データの偏差（データ $- $ 平均値）の2乗の平均であるため、

$$\frac{(6-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (5-7)^2 + (10-7)^2 + (8-7)^2 + (a-7)^2 + (b-7)^2}{8} = 3$$

$$\frac{(-1)^2 + (-2)^2 + 0^2 + (-2)^2 + 3^2 + 1^2 + (a-7)^2 + (b-7)^2}{8} = 3$$

$$\frac{1 + 4 + 0 + 4 + 9 + 1 + (a-7)^2 + (b-7)^2}{8} = 3$$

$$\frac{19 + (a-7)^2 + (b-7)^2}{8} = 3$$

$$19 + (a-7)^2 + (b-7)^2 = 24$$

$$(a-7)^2 + (b-7)^2 = 5 \quad \cdots (2)$$

(1) より $b = 15 - a$ であるから、これを (2) に代入して $b$ を消去する。

$$(a-7)^2 + (15 - a - 7)^2 = 5$$

$$(a-7)^2 + (8 - a)^2 = 5$$

$$(a^2 - 14a + 49) + (a^2 - 16a + 64) = 5$$

$$2a^2 - 30a + 113 = 5$$

$$2a^2 - 30a + 108 = 0$$

両辺を $2$ で割って整理する。

$$a^2 - 15a + 54 = 0$$

$$(a - 6)(a - 9) = 0$$

これより、$a = 6, 9$ を得る。

問題の条件 $a \leqq b$ を用いて吟味する。

(i) $a = 6$ のとき、(1) より $b = 15 - 6 = 9$ となり、$a \leqq b$ を満たす。

(ii) $a = 9$ のとき、(1) より $b = 15 - 9 = 6$ となり、$a \leqq b$ を満たさない。

以上より、$a = 6$、$b = 9$ と定まる。

解法2

分散の公式 $s^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$（2乗の平均 $- $ 平均の2乗）を用いて計算する。

平均の条件から $a + b = 15 \cdots (1)$ を得るまでは解法1と同様である。

各データの2乗の和は、

$$6^2 + 5^2 + 7^2 + 5^2 + 10^2 + 8^2 + a^2 + b^2 = 36 + 25 + 49 + 25 + 100 + 64 + a^2 + b^2 = 299 + a^2 + b^2$$

分散が $3$ であり、平均が $7$ であるから、

$$\frac{299 + a^2 + b^2}{8} - 7^2 = 3$$

$$\frac{299 + a^2 + b^2}{8} - 49 = 3$$

$$\frac{299 + a^2 + b^2}{8} = 52$$

$$299 + a^2 + b^2 = 416$$

$$a^2 + b^2 = 117 \quad \cdots (3)$$

(1) より $b = 15 - a$ を (3) に代入する。

$$a^2 + (15 - a)^2 = 117$$

$$a^2 + a^2 - 30a + 225 = 117$$

$$2a^2 - 30a + 108 = 0$$

$$a^2 - 15a + 54 = 0$$

$$(a - 6)(a - 9) = 0$$

これ以降は解法1と同様にして、$a=6, b=9$ を得る。

解説

データの分析における平均値と分散の定義を正しく理解し、連立方程式を立てて解く典型的な問題である。分散の計算は、平均値が整数の場合は「偏差の2乗の平均（解法1）」、平均値が分数や小数の場合は「2乗の平均から平均の2乗を引く（解法2）」と使い分けると計算ミスのリスクを減らせる。本問ではどちらでも計算量は同程度である。最後に $a \leqq b$ の大小関係を忘れないように注意が必要である。

答え

$a = 6$

$b = 9$