数学1 データの分析 問題 4 解説

方針・初手

分散が標準偏差の2乗に等しいことを利用し、データの分散についての方程式を立てる。分散の計算は「各データの2乗の平均」から「平均の2乗」を引く方法を用いると計算が比較的容易である。最後に $m$ が整数であるという条件から適する値を絞り込む。

解法1

与えられた4個のデータ $-2, 1, 2, m$ の平均値を $\bar{x}$ とすると、

$$\bar{x} = \frac{-2 + 1 + 2 + m}{4} = \frac{m + 1}{4}$$

である。

また、各データの2乗の平均値を $\overline{x^2}$ とすると、

$$\overline{x^2} = \frac{(-2)^2 + 1^2 + 2^2 + m^2}{4} = \frac{m^2 + 9}{4}$$

である。

分散を $v$ とすると、分散は標準偏差の2乗であるから、

$$v = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$$

となる。

一方で、分散は公式 $v = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$ によって求められるため、これらを代入して次の方程式を得る。

$$\frac{m^2 + 9}{4} - \left(\frac{m + 1}{4}\right)^2 = \frac{25}{4}$$

両辺に $16$ を掛けて分母を払うと、

$$4(m^2 + 9) - (m + 1)^2 = 100$$

展開して整理する。

$$4m^2 + 36 - (m^2 + 2m + 1) = 100$$

$$3m^2 - 2m - 65 = 0$$

左辺を因数分解すると、

$$(3m + 13)(m - 5) = 0$$

これを解いて、

$$m = -\frac{13}{3}, 5$$

問題の条件より $m$ は整数であるから、不適な解を排除して、

$$m = 5$$

を得る。

解説

分散の定義式 $v = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$ をそのまま用いて計算することも可能であるが、本問のように平均値が $\frac{m+1}{4}$ と文字を含んだ分数になる場合、各データから平均値を引いて2乗する計算は煩雑になりやすい。そのため、$v = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$ の公式を用いるのが標準的な解法である。最後に方程式を解いた後、$m$ が整数であるという条件を確認し忘れないように注意したい。

答え

$5$