数学1 データの分析 問題 5 解説

方針・初手

データが2種類の値しかとらないため、それぞれの度数を用いてデータの総和、および2乗の総和（または偏差の2乗の総和）を計算し、定義に従って平均値と分散、標準偏差を求める。

解法1

テストの得点のデータを $x$ とする。データ数は $n=100$ である。

まず、データの総和を計算する。$0$点が$25$人、$100$点が$75$人であるから、総和は

$$0 \times 25 + 100 \times 75 = 7500$$

したがって、平均値 $\bar{x}$ は

$$\bar{x} = \frac{7500}{100} = 75$$

次に、分散 $s^2$ を定義に従って計算する。 各データの値から平均値を引いた偏差は、 $0$点のとき、$0 - 75 = -75$ $100$点のとき、$100 - 75 = 25$

分散は偏差の$2$乗の平均であるから、

$$\begin{aligned} s^2 &= \frac{(-75)^2 \times 25 + 25^2 \times 75}{100} \\ &= \frac{5625 \times 25 + 625 \times 75}{100} \\ &= \frac{140625 + 46875}{100} \\ &= \frac{187500}{100} \\ &= 1875 \end{aligned}$$

標準偏差 $s$ は分散の正の平方根であるから、

$$s = \sqrt{1875} = \sqrt{25^2 \times 3} = 25\sqrt{3}$$

解法2

平均値 $\bar{x} = 75$ までは解法1と同様である。

分散 $s^2$ を、「（$2$乗の平均）$-$（平均の$2$乗）」の公式を用いて計算する。 データの値の$2$乗の総和は

$$0^2 \times 25 + 100^2 \times 75 = 10000 \times 75 = 750000$$

よって、$2$乗の平均は

$$\frac{750000}{100} = 7500$$

分散 $s^2$ は

$$\begin{aligned} s^2 &= 7500 - 75^2 \\ &= 7500 - 5625 \\ &= 1875 \end{aligned}$$

したがって、標準偏差 $s$ は

$$s = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3}$$

解説

データ分析の基本である平均値と標準偏差の定義を確認する問題である。 分散の計算には、定義通り「偏差の$2$乗の平均」を求める方法（解法1）と、「（$2$乗の平均）$-$（平均の$2$乗）」を用いる方法（解法2）がある。本問ではどちらで計算しても手間はそれほど変わらないが、平均値が整数にならない場合などは後者の公式が有効になることが多いので、両方とも正しく使えるようにしておきたい。

答え

平均値: $75$

標準偏差: $25\sqrt{3}$