数学A 数列･確率(数B) 問題 22 解説

方針・初手

点 $X$ が頂点 $A$ にある確率だけを追う。頂点 $A$ 以外にある確率は $1-P_n$ であり、$B,C$ のどちらにいても、次に $A$ へ移る確率は $1/6$ である。

したがって、$n$ 回後に $A$ にいる場合と、$A$ 以外にいる場合に分けて $P_{n+1}$ を作る。

解法1

サイコロの目が $1,2,3,4$ のいずれかであれば点 $X$ は動かないから、その確率は

$$ \frac{4}{6}=\frac{2}{3} $$

である。また、$5$ または $6$ が出ると隣の頂点へ移るので、$A$ 以外の頂点、つまり $B$ または $C$ にいるとき、次に $A$ に移る確率は

$$ \frac{1}{6} $$

である。

(1)

はじめ、点 $X$ は $A$ にあるので $P_0=1$ である。

1回投げた後に $A$ にあるのは、動かない場合であるから

$$ P_1=\frac{2}{3} $$

である。

2回投げた後について、1回後に $A$ にいる確率は $P_1=\frac{2}{3}$、$A$ 以外にいる確率は $1-P_1=\frac{1}{3}$ である。よって

$$ P_2=\frac{2}{3}P_1+\frac{1}{6}(1-P_1) $$

であるから、

$$ P_2=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3} =\frac{4}{9}+\frac{1}{18} =\frac{1}{2} $$

となる。

同様に、

$$ P_3=\frac{2}{3}P_2+\frac{1}{6}(1-P_2) $$

であるから、

$$ P_3=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2} =\frac{1}{3}+\frac{1}{12} =\frac{5}{12} $$

である。

(2)

$n$ 回後に $A$ にいる確率は $P_n$ である。このとき、次も $A$ にいるためには、サイコロの目が $1,2,3,4$ のいずれかであればよい。

一方、$n$ 回後に $A$ 以外にいる確率は $1-P_n$ であり、このとき次に $A$ に移る確率は $1/6$ である。

したがって、

$$ P_{n+1}=\frac{2}{3}P_n+\frac{1}{6}(1-P_n) $$

である。整理すると、

$$ P_{n+1} =\frac{2}{3}P_n+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}P_n =\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{6} $$

となる。

(3)

漸化式

$$ P_{n+1}=\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{6} $$

を解く。

まず、定数解を $\alpha$ とおくと、

$$ \alpha=\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{6} $$

であるから、

$$ \alpha=\frac{1}{3} $$

である。

よって

$$ P_{n+1}-\frac{1}{3} =\frac{1}{2}\left(P_n-\frac{1}{3}\right) $$

となる。したがって、数列 $P_n-\frac{1}{3}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。

また、$P_0=1$ だから、

$$ P_0-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$

である。よって

$$ P_n-\frac{1}{3} =\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n $$

となる。

したがって、

$$ P_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n $$

である。

解説

この問題では、$B$ と $C$ を個別に追う必要はない。$B$ にいても $C$ にいても、次に $A$ へ移る確率は同じく $1/6$ であるため、$A$ にいる確率 $P_n$ と、$A$ 以外にいる確率 $1-P_n$ だけで漸化式を作れる。

漸化式は定数項つきの一次漸化式なので、定数解 $\frac{1}{3}$ を引いて等比数列に直すのが標準的である。

答え

(1)

$$ P_1=\frac{2}{3},\qquad P_2=\frac{1}{2},\qquad P_3=\frac{5}{12} $$

(2)

$$ P_{n+1}=\frac{1}{2}P_n+\frac{1}{6} $$

(3)

$$ P_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^n $$