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東京工業大学 2024年理系第4問解説

方針・初手

各硬貨 $C_k$ ごとに表の出る確率 $p_k$ が異なる場合が含まれるため、$k$ 枚目まで投げたときの結果をもとにして漸化式を立てる方針が有効である。硬貨を1枚ずつ追加して投げていく状況を想定し、奇数枚の表が出る確率の状態遷移を式で表現する。これを一般化しておくことで、(1)から(3)までを統一的に処理することができる。

解法1

$k$ 枚の硬貨 $C_1, \dots, C_k$ を投げたとき、表が出た硬貨の枚数が奇数である確率を $x_k$ ($k=1, 2, \dots, n$) とする。 $k$ 枚目まで投げて表が奇数枚となるのは、次の2つの排反な事象のいずれかが起こる場合である。

(i)

$k-1$ 枚目までに表が奇数枚出ており、$k$ 枚目の硬貨 $C_k$ が裏となる場合 (ii)

$k-1$ 枚目までに表が偶数枚出ており、$k$ 枚目の硬貨 $C_k$ が表となる場合

それぞれの事象が起こる確率を足し合わせることで、次の漸化式が得られる。

$$ x_k = x_{k-1}(1-p_k) + (1-x_{k-1})p_k $$

これを $x_k$ について整理する。

$$ x_k = (1-2p_k)x_{k-1} + p_k $$

両辺から $\frac{1}{2}$ を引いて変形する。

$$ x_k - \frac{1}{2} = (1-2p_k)\left(x_{k-1} - \frac{1}{2}\right) $$

ここで、便宜上 $x_0 = 0$（0枚投げて表が奇数枚出る確率は0）と定めると、$k=1$ のとき $x_1 - \frac{1}{2} = (1-2p_1)\left(0 - \frac{1}{2}\right) = p_1 - \frac{1}{2}$ となり、$x_1 = p_1$ を満たすため矛盾しない。したがって、漸化式を繰り返し用いることで一般項は次のように表される。

$$ x_n - \frac{1}{2} = \left(x_0 - \frac{1}{2}\right) \prod_{k=1}^n (1-2p_k) $$

$$ x_n = \frac{1}{2} \left\{ 1 - \prod_{k=1}^n (1-2p_k) \right\} $$

この結果を用いて、(1)〜(3)をそれぞれ計算する。

(1) $p_k = \frac{1}{3}$ であるから、$1-2p_k = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ となる。求める確率 $X_n$ は $x_n$ に等しいため、先ほどの一般項に代入して計算する。

$$ X_n = \frac{1}{2} \left\{ 1 - \prod_{k=1}^n \frac{1}{3} \right\} $$

$$ X_n = \frac{1}{2} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^n \right\} $$

(2) $p_k = \frac{1}{2(k+1)}$ であるから、$1-2p_k = 1 - \frac{1}{k+1} = \frac{k}{k+1}$ となる。求める確率 $Y_n$ は同様に $x_n$ に等しいため、代入して積を計算する。

$$ Y_n = \frac{1}{2} \left\{ 1 - \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+1} \right\} $$

ここで、積の部分を展開すると、隣り合う分母と分子が次々と約分される。

$$ \prod_{k=1}^n \frac{k}{k+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1} $$

したがって、$Y_n$ は次のように求まる。

$$ Y_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{n}{2(n+1)} $$

(3) 求める確率 $Z_{3m}$ は $n=3m$ とした場合の確率であるから、次のように表される。

$$ Z_{3m} = \frac{1}{2} \left\{ 1 - \prod_{k=1}^{3m} (1-2p_k) \right\} $$

条件より $p_k$ の値は $k$ の範囲によって3つのグループに分かれているため、積をそれぞれの区間に分割して計算する。

$$ k=1, \dots, m \text{ のとき } \quad 1-2p_k = 1 - \frac{2}{3m} $$

$$ k=m+1, \dots, 2m \text{ のとき } \quad 1-2p_k = 1 - \frac{4}{3m} $$

$$ k=2m+1, \dots, 3m \text{ のとき } \quad 1-2p_k = 1 - \frac{2}{m} $$

これらを代入すると、積の部分は次のようにまとまる。

$$ \prod_{k=1}^{3m} (1-2p_k) = \left(1 - \frac{2}{3m}\right)^m \left(1 - \frac{4}{3m}\right)^m \left(1 - \frac{2}{m}\right)^m $$

ここで、自然対数の底 $e$ の定義 $\lim_{t\to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e$ を用いて、$m \to \infty$ の極限を計算する。

$$ \lim_{m\to\infty} \left(1 - \frac{2}{3m}\right)^m = \lim_{m\to\infty} \left\{ \left(1 - \frac{2}{3m}\right)^{-\frac{3m}{2}} \right\}^{-\frac{2}{3}} = e^{-\frac{2}{3}} $$

$$ \lim_{m\to\infty} \left(1 - \frac{4}{3m}\right)^m = \lim_{m\to\infty} \left\{ \left(1 - \frac{4}{3m}\right)^{-\frac{3m}{4}} \right\}^{-\frac{4}{3}} = e^{-\frac{4}{3}} $$

$$ \lim_{m\to\infty} \left(1 - \frac{2}{m}\right)^m = \lim_{m\to\infty} \left\{ \left(1 - \frac{2}{m}\right)^{-\frac{m}{2}} \right\}^{-2} = e^{-2} $$

極限の積はそれぞれの極限値の積になるため、次のように計算できる。

$$ \lim_{m\to\infty} \prod_{k=1}^{3m} (1-2p_k) = e^{-\frac{2}{3}} \cdot e^{-\frac{4}{3}} \cdot e^{-2} = e^{-\frac{2}{3} - \frac{4}{3} - 2} = e^{-4} $$

したがって、求める極限は次のようになる。

$$ \lim_{m\to\infty} Z_{3m} = \frac{1}{2}(1 - e^{-4}) $$

解説

「奇数回（偶数回）起こる確率」を求める典型的なアプローチには、本解法のように「漸化式を立てる方法」と「二項定理を用いる方法」がある。 (1)だけであれば、すべての確率が $\frac{1}{3}$ で一定であるため、二項定理を用いて $(1-p_k)^n$ と $(1+p_k)^n$ の展開式を足し引きすることでも容易に導出できる。しかし、(2)や(3)のように試行ごとに確率 $p_k$ が変化する場合は、二項定理を直接適用することが難しくなる。したがって、最初に状態遷移に注目して漸化式 $x_k - \frac{1}{2} = (1-2p_k)\left(x_{k-1} - \frac{1}{2}\right)$ を導出しておくことで、見通しよく全問を統一的に解くことができる。また、(2)の連乗積における鮮やかな約分や、(3)の自然対数の底 $e$ に帰着させる極限計算など、数式処理の正確さも求められる良問である。