数学A 数列･確率(数B) 問題 25 解説

方針・初手

表を $H$、裏を $T$ と表す。

ちょうど $n$ 回目で終了するとは、$n-1$ 回目と $n$ 回目が連続して $H$ であり、それ以前には $HH$ が一度も現れていないということである。

したがって、各 $n$ について「初めて $HH$ が出る列」を数え、その本数を $2^n$ で割ればよい。

解法1

(1)

$P_2$ を求める。

2回目で終了するには、最初の2回がともに表であればよい。すなわち列は

$$ HH $$

のみである。

よって

$$ P_2=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4} $$

である。

(2)

$P_3$ を求める。

3回目で初めて $HH$ が出るには、2回目と3回目が $H,H$ であり、1回目と2回目が $H,H$ であってはならない。

したがって、1回目は $T$ でなければならない。列は

$$ THH $$

のみである。

よって

$$ P_3=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} $$

である。

(3)

$P_4$ を求める。

4回目で初めて $HH$ が出るには、3回目と4回目が $H,H$ である。

また、2回目と3回目が $H,H$ になっていると3回目で終了してしまうので、2回目は $T$ でなければならない。

したがって列の形は

$$ _THH $$

である。ただし、1回目は $H,T$ のどちらでもよい。実際に可能な列は

$$ HTHH,\quad TTHH $$

の2通りである。

よって

$$ P_4=\frac{2}{2^4}=\frac{1}{8} $$

である。

(4)

$P_5<\dfrac{1}{2}$ を示す。

5回目で初めて $HH$ が出るには、4回目と5回目が $H,H$ である。

また、3回目と4回目が $H,H$ になっていると4回目で終了してしまうので、3回目は $T$ でなければならない。

したがって列の形は

$$ __THH $$

である。

さらに、1回目と2回目で $HH$ が出ていてはいけない。よって、最初の2回として可能なのは

$$ TT,\quad TH,\quad HT $$

の3通りである。

したがって、5回目で終了する列は

$$ TTTHH,\quad THTHH,\quad HTTHH $$

の3通りである。

よって

$$ P_5=\frac{3}{2^5}=\frac{3}{32} $$

である。

ここで

$$ \frac{3}{32}<\frac{16}{32}=\frac{1}{2} $$

だから、

$$ P_5<\frac{1}{2} $$

が示された。

解説

この問題では、「$n$ 回目で $HH$ が出る」だけでなく、「それ以前には $HH$ が出ていない」という条件を忘れないことが重要である。

たとえば $P_4$ では、最後が $HH$ であればよいだけなら

$$ HHHH,\quad HTHH,\quad THHH,\quad TTHH $$

なども候補に見えるが、$HHHH$ は2回目で終了し、$THHH$ は3回目で終了する。したがって、初めて終了する時点を考える必要がある。

小さい $n$ では、実際に列を書き出す方法が最も確実である。

答え

(1)

$$ P_2=\frac{1}{4} $$

(2)

$$ P_3=\frac{1}{8} $$

(3)

$$ P_4=\frac{1}{8} $$

(4)

$$ P_5=\frac{3}{32}<\frac{1}{2} $$