数学A 数列･確率(数B) 問題 27 解説

方針・初手

袋の中の赤玉の個数は、試行を行うたびに増えることはなく、赤玉を取り出したときだけ $1$ 個減る。

そこで、$n$ 回目の試行直前に赤玉が $1$ 個ある場合と $2$ 個ある場合を分けて考える。袋の中の玉の総数は常に $N+2$ 個である。

解法1

$n$ 回目の試行直前に袋の中に赤玉が $2$ 個ある場合、袋の中の白玉は $N$ 個である。この状態から $n+1$ 回目の試行直前にも赤玉が $2$ 個であるためには、$n$ 回目に白玉を取り出す必要がある。

したがって、

$$ \begin{aligned} P''_{n+1} &= \frac{N}{N+2}P''_n \end{aligned} $$

である。

次に、$n+1$ 回目の試行直前に赤玉が $1$ 個あり、かつ $n+1$ 回目に赤玉を取り出す確率 $P'_{n+1}$ を考える。

$n+1$ 回目の試行直前に赤玉が $1$ 個ある場合は、次の $2$ 通りである。

(i)

$n$ 回目の試行直前に赤玉が $1$ 個あり、$n$ 回目に白玉を取り出す。

このとき、$n$ 回目の試行直前には白玉が $N+1$ 個あるので、$n$ 回目に白玉を取り出す確率は $\dfrac{N+1}{N+2}$ である。

(ii)

$n$ 回目の試行直前に赤玉が $2$ 個あり、$n$ 回目に赤玉を取り出す。

この場合は、まさに $P''_n$ に対応する。

ただし、$P'_{n+1}$ は「$n+1$ 回目の試行直前に赤玉が $1$ 個あり、かつ $n+1$ 回目に赤玉を取り出す確率」であるから、最後に $\dfrac{1}{N+2}$ を掛ける形になる。

$n$ 回目の試行直前に赤玉が $1$ 個ある確率を $A_n$ とすると、

$$ P'_n=\frac{1}{N+2}A_n $$

であるから、

$$ A_n=(N+2)P'_n $$

である。

よって、$n+1$ 回目の試行直前に赤玉が $1$ 個ある確率は、

$$ \begin{aligned} \frac{N+1}{N+2}A_n+P''_n &= (N+1)P'_n+P''_n \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} P'_{n+1} &= \frac{(N+1)P'_n+P''_n}{N+2} \end{aligned} $$

を得る。

以上より、求める漸化式は

$$ \begin{cases} P'_{n+1}=\dfrac{(N+1)P'_n+P''*n}{N+2},\\ P''*{n+1}=\dfrac{N}{N+2}P''_n \end{cases} $$

である。

次に、

$$ P_n=P'_n+P''_n $$

であるから、

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &=P'*{n+1}+P''*{n+1}\\ &=\frac{(N+1)P'_n+P''_n}{N+2} +\frac{N}{N+2}P''_n\\ &=\frac{(N+1)P'_n+(N+1)P''_n}{N+2}\\ &=\frac{N+1}{N+2}(P'_n+P''_n)\\ &=\frac{N+1}{N+2}P_n \end{aligned} $$

となる。

初回の試行では、袋の中に赤玉が $2$ 個あるので、

$$ P_1=\frac{2}{N+2} $$

である。よって、$P_n$ は初項 $\dfrac{2}{N+2}$、公比 $\dfrac{N+1}{N+2}$ の等比数列である。

したがって、

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{2}{N+2} \left(\frac{N+1}{N+2}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

である。

解法2

$n$ 回目の試行直前に袋の中にある赤玉の個数の期待値を $E_n$ とする。

袋の中の玉の総数は常に $N+2$ 個であるから、$n$ 回目に赤玉を取り出す確率は

$$ P_n=\frac{E_n}{N+2} $$

である。

$n$ 回目の試行で赤玉を取り出すと、袋の中の赤玉の個数は $1$ 減る。白玉を取り出した場合、赤玉の個数は変わらない。

したがって、期待値について

$$ \begin{aligned} E_{n+1} &= E_n-P_n \end{aligned} $$

が成り立つ。ここで $P_n=\dfrac{E_n}{N+2}$ だから、

$$ \begin{aligned} E_{n+1} &= E_n-\frac{E_n}{N+2} \\ \frac{N+1}{N+2}E_n \end{aligned} $$

である。

初めは赤玉が $2$ 個あるので、

$$ E_1=2 $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} E_n &= 2\left(\frac{N+1}{N+2}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{E_n}{N+2} \\ \frac{2}{N+2} \left(\frac{N+1}{N+2}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

である。

また、この結果から直接

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &= \frac{N+1}{N+2}P_n \end{aligned} $$

も従う。

解説

この問題では、赤玉を取り出すと赤玉が $1$ 個減り、白玉を取り出すと赤玉の個数が変わらない。したがって、赤玉の個数に注目して状態を分けるのが自然である。

$P'_n$ と $P''*n$ は単なる状態確率ではなく、「その状態で、さらに赤玉を取り出す確率」まで含んでいる点に注意する必要がある。特に $P'*{n+1}$ を作るとき、$n+1$ 回目に赤玉を取り出す確率 $\dfrac{1}{N+2}$ を最後に掛けることを忘れやすい。

一方、$P_n$ だけを求めるなら、赤玉の個数の期待値に注目する解法2が簡潔である。赤玉を取り出す確率は「赤玉の個数の期待値を $N+2$ で割ったもの」と見れば、すぐに等比数列が現れる。

答え

(1)

$$ \begin{cases} P'_{n+1}=\dfrac{(N+1)P'_n+P''*n}{N+2},\\ P''*{n+1}=\dfrac{N}{N+2}P''_n \end{cases} $$

(2)

$$ \begin{aligned} P_{n+1} &= \frac{N+1}{N+2}P_n \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} P_n &= \frac{2}{N+2} \left(\frac{N+1}{N+2}\right)^{n-1} \end{aligned} $$