数学A 数列･確率(数B) 問題 29 解説

方針・初手

和が $3$ の倍数になった時点で終了するので、記録された和を $3$ で割った余りだけを考えればよい。

玉に書かれた数を $3$ で割った余りは、

• 余り $0$：$3$ のみで確率 $\dfrac15$
• 余り $1$：$1,4$ で確率 $\dfrac25$
• 余り $2$：$2,5$ で確率 $\dfrac25$

である。終了していない間の和の余りは $1$ または $2$ だけであるから、その推移を調べる。

解法1

まず $1$ 回目で終了するのは、$3$ が出る場合である。したがって

$$ p_1=\frac15 $$

である。

次に $2$ 回目で終了する場合を考える。$1$ 回目で終了していないので、$1$ 回目の余りは $1$ または $2$ である。

（i） 1回目の余りが $1$ の場合

この確率は $\dfrac25$ である。このとき、2回目で和が $3$ の倍数になるには、2回目の余りが $2$ であればよい。その確率は $\dfrac25$ である。

（ii） 1回目の余りが $2$ の場合

この確率は $\dfrac25$ である。このとき、2回目で和が $3$ の倍数になるには、2回目の余りが $1$ であればよい。その確率は $\dfrac25$ である。

よって

$$ p_2=\frac25\cdot\frac25+\frac25\cdot\frac25 =\frac{8}{25} $$

である。

次に $n\geqq 3$ の場合を求める。

$k$ 回目の操作後にまだ終了しておらず、和の余りが $1$ である確率を $a_k$、余りが $2$ である確率を $b_k$ とする。ただし、$k$ 回目まで終了していない場合だけを数える。

1回目終了後については、

$$ a_1=\frac25,\qquad b_1=\frac25 $$

である。

終了しないまま次へ進む推移を考える。余り $1$ の状態からは、

• 余り $0$ が出ると余り $1$ のまま
• 余り $1$ が出ると余り $2$
• 余り $2$ が出ると終了

である。したがって、終了せずに残る推移は

$$ 1\to 1:\frac15,\qquad 1\to 2:\frac25 $$

である。

同様に、余り $2$ の状態からは、

$$ 2\to 2:\frac15,\qquad 2\to 1:\frac25 $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} a_{k+1}&=\frac15a_k+\frac25b_k,\\ b_{k+1}&=\frac25a_k+\frac15b_k. \end{aligned} $$

ここで $a_1=b_1=\dfrac25$ なので、対称性からすべての $k$ について

$$ a_k=b_k $$

である。

そこで $a_k=b_k=x_k$ とおくと、

$$ x_{k+1} =\frac15x_k+\frac25x_k =\frac35x_k $$

となる。初期値は $x_1=\dfrac25$ であるから、

$$ x_k=\frac25\left(\frac35\right)^{k-1} $$

である。

$n$ 回目で終了するには、$n-1$ 回目の操作後にまだ終了しておらず、余りが $1$ または $2$ であり、次にそれぞれ反対の余りが出ればよい。どちらの場合も終了する確率は $\dfrac25$ である。

したがって、$n\geqq 2$ について

$$ p_n=\frac25a_{n-1}+\frac25b_{n-1} $$

である。特に $n\geqq 3$ のとき、

$$ \begin{aligned} p_n &=\frac25x_{n-1}+\frac25x_{n-1}\\ &=\frac45x_{n-1}\\ &=\frac45\cdot\frac25\left(\frac35\right)^{n-2}\\ &=\frac{8}{25}\left(\frac35\right)^{n-2}. \end{aligned} $$

解説

この問題では、実際に出た数字そのものではなく、和を $3$ で割った余りだけを追えばよい。終了条件が「和が $3$ の倍数」であるため、状態は余り $0,1,2$ のみで管理できる。

ただし、余り $0$ は終了状態なので、継続中に考えるべき状態は余り $1$ と余り $2$ だけである。ここを整理すると、漸化式は対称になり、$a_k=b_k$ として簡単に処理できる。

注意すべき点は、最初の状態を「和が $0$」として扱って、操作前に終了したと考えてはいけないことである。終了判定は玉を1個取り出して記録した後に行うので、$p_1$ は $3$ が出る確率 $\dfrac15$ である。

答え

(1)

$$ p_1=\frac15,\qquad p_2=\frac{8}{25} $$

(2)

$n\geqq 3$ のとき

$$ p_n=\frac{8}{25}\left(\frac35\right)^{n-2} $$