数学A 数列･確率(数B) 問題 31 解説

方針・初手

玉は全部で白玉2個、黒玉1個である。奇数回移した後には袋Aに玉が1個、袋Bに玉が2個あるので、袋Aの1個が黒玉である確率だけを追えばよい。

$2n-1$回移した後に袋Aの玉が黒玉である確率を$p_n$とし、そこから2回操作して$2n+1$回後の状態に移る確率を考える。

解法1

まず、1回移した後を考える。最初、袋Aには白玉1個と黒玉1個があるから、袋Aから袋Bへ移す玉は白玉・黒玉がそれぞれ確率$\dfrac12$である。

したがって、1回移した後に袋Aに残る玉が黒玉である確率は

$$ p_1=\frac12 $$

である。

次に、$2n-1$回移した後から$2n+1$回移した後への変化を考える。このとき袋Aには玉が1個、袋Bには玉が2個ある。

(i)

$2n-1$回後、袋Aの玉が黒玉である場合

このとき袋Bには白玉2個が入っている。次に袋Bから袋Aへ移す玉は必ず白玉である。

その後、袋Aには白玉1個と黒玉1個があるので、その中から袋Bへ1個移す。袋Aに黒玉が残るのは、白玉を移した場合であり、その確率は

$$ \frac12 $$

である。

(ii)

$2n-1$回後、袋Aの玉が白玉である場合

このとき袋Bには白玉1個と黒玉1個が入っている。次に袋Bから袋Aへ黒玉を移す確率は$\dfrac12$である。

黒玉を移した場合、袋Aには白玉1個と黒玉1個がある。その後、袋Aから袋Bへ1個移すので、袋Aに黒玉が残る確率は$\dfrac12$である。

したがって、この場合に最終的に袋Aの玉が黒玉である確率は

$$ \frac12\cdot\frac12=\frac14 $$

である。

以上より、全確率の考え方から

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac12 p_n+\frac14(1-p_n) \end{aligned} $$

である。整理すると

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac14 p_n+\frac14 \end{aligned} $$

となる。

次に、(1)を求める。3回移した後は$n=2$の場合なので、

$$ \begin{aligned} p_2 &= \frac14 p_1+\frac14 \\ \frac14\cdot\frac12+\frac14 \\ \frac38 \end{aligned} $$

である。

よって、3回移した後に袋Aの玉が黒玉である確率は$\dfrac38$、白玉である確率は

$$ 1-\frac38=\frac58 $$

である。

最後に$p_n$を求める。漸化式

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac14p_n+\frac14 \end{aligned} $$

の定数解を$a$とすると、

$$ a=\frac14a+\frac14 $$

より、

$$ a=\frac13 $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} p_{n+1}-\frac13 &= \frac14\left(p_n-\frac13\right) \end{aligned} $$

となる。

また、

$$ \begin{aligned} p_1-\frac13 &= \frac12-\frac13 \\ \frac16 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} p_n-\frac13 &= \left(\frac14\right)^{n-1}\cdot\frac16 \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac13+\frac16\left(\frac14\right)^{n-1} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、各時点で袋Aに何個の玉が入っているかを確認することが重要である。奇数回移した後には袋Aに玉が1個だけなので、その玉が黒玉であるかどうかだけを状態として追えばよい。

$2n-1$回後から$2n+1$回後までは2回の操作で戻るため、$p_n$から$p_{n+1}$への推移を考えるのが自然である。白玉・黒玉の個数をその都度確認すれば、場合分けは「袋Aが黒玉である場合」と「袋Aが白玉である場合」の2つで足りる。

答え

(1)

白玉である確率は

$$ \frac58 $$

黒玉である確率は

$$ \frac38 $$

(2)

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &= \frac14p_n+\frac14 \end{aligned} $$

(3)

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac13+\frac16\left(\frac14\right)^{n-1} \end{aligned} $$