数学A 数列･確率(数B) 問題 36 解説

方針・初手

$g(x)=ax^2+bx$ に対して、表と裏がそれぞれ係数 $(a,b)$ にどのような変換を与えるかを調べる。すると、硬貨の出方は係数の変化として処理できる。

硬貨の表を $H$、裏を $T$ と書くことにする。

解法1

まず、$g(x)=ax^2+bx$ とする。このとき

$$ g'(x)=2ax+b $$

であるから、

$$ xg'(x)=2ax^2+bx $$

となる。

また、

$$ g(t+1)-g(t) =a{(t+1)^2-t^2}+b{(t+1)-t} =2at+a+b $$

である。よって

$$ \int_0^x {g(t+1)-g(t)},dt =\int_0^x (2at+a+b),dt =ax^2+(a+b)x $$

となる。

したがって、係数 $(a,b)$ に対して、表 $H$ と裏 $T$ はそれぞれ

$$ H:(a,b)\mapsto (2a,b),\qquad T:(a,b)\mapsto (a,a+b) $$

という変換である。

最初は

$$ g_0(x)=x^2 $$

なので、係数は

$$ (a,b)=(1,0) $$

である。

(i) $n=2$ の場合

2回の出方は $HH,HT,TH,TT$ の4通りである。

(1) $HH$ のとき

$$ (1,0)\xrightarrow{H}(2,0)\xrightarrow{H}(4,0) $$

より、

$$ f(x)=4x^2 $$

である。

(2) $HT$ のとき

$$ (1,0)\xrightarrow{H}(2,0)\xrightarrow{T}(2,2) $$

より、

$$ f(x)=2x^2+2x $$

である。

(3) $TH$ のとき

$$ (1,0)\xrightarrow{T}(1,1)\xrightarrow{H}(2,1) $$

より、

$$ f(x)=2x^2+x $$

である。

(4) $TT$ のとき

$$ (1,0)\xrightarrow{T}(1,1)\xrightarrow{T}(1,2) $$

より、

$$ f(x)=x^2+2x $$

である。

(ii) すべて裏が出た場合

裏 $T$ の変換は

$$ T:(a,b)\mapsto (a,a+b) $$

である。

初期値は $(a,b)=(1,0)$ であり、裏が出るたびに $a=1$ は変わらず、$b$ だけが $1$ ずつ増える。

したがって、$n$ 回すべて裏が出たとき、

$$ (a,b)=(1,n) $$

である。

よって

$$ f(x)=x^2+nx $$

となる。

(iii) $n=5$ で $f(x)=8x^2+10x$ となる場合

求める最終的な係数は

$$ (a,b)=(8,10) $$

である。

表 $H$ は $a$ を $2$ 倍し、裏 $T$ は $a$ を変えない。初めに $a=1$ なので、最終的に $a=8=2^3$ となるためには、表がちょうど3回出る必要がある。

よって、5回中の出方は、表3回、裏2回である。

次に $b$ を考える。裏 $T$ が出たときだけ

$$ (a,b)\mapsto (a,a+b) $$

となるので、その時点の $a$ が $b$ に加えられる。

表がすでに $r$ 回出た後なら、その時点の $a$ は

$$ 2^r $$

である。

裏は2回出るので、$b=10$ となるには、裏が出た時点で加えられる2つの値の和が $10$ になればよい。可能な値は

$$ 1,\ 2,\ 4,\ 8 $$

であり、この中から時系列に沿って2つ選んで和が $10$ になるのは

$$ 2+8=10 $$

のみである。

したがって、1回目の裏は表が1回出た後、2回目の裏は表が3回すべて出た後でなければならない。

よって出方は

$$ HTHHT $$

である。

実際に確認すると、

$$ (1,0)\xrightarrow{H}(2,0)\xrightarrow{T}(2,2)\xrightarrow{H}(4,2)\xrightarrow{H}(8,2)\xrightarrow{T}(8,10) $$

となり、

$$ f(x)=8x^2+10x $$

である。

解説

この問題では、関数そのものを毎回計算するよりも、$g(x)=ax^2+bx$ の係数 $(a,b)$ の変化として見るのが有効である。

表は $a$ だけを2倍し、裏はその時点の $a$ を $b$ に加える。特に (iii) では、$x^2$ の係数から表の回数が決まり、その後 $x$ の係数から裏の位置が決まる。

答え

(1)

$$ xg'(x)=2ax^2+bx $$

$$ \int_0^x {g(t+1)-g(t)},dt=ax^2+(a+b)x $$

(2)

(i)

$$ HH:\ f(x)=4x^2 $$

$$ HT:\ f(x)=2x^2+2x $$

$$ TH:\ f(x)=2x^2+x $$

$$ TT:\ f(x)=x^2+2x $$

(2)

(ii)

$$ f(x)=x^2+nx $$

(2)

(iii)

$$ HTHHT $$

すなわち、表、裏、表、表、裏の順である。