数学B 推定 問題 1 解説

方針・初手

各 $X_i$ は、薬の効果が認められたかどうかを表す $0,1$ の確率変数である。したがって $X_i$ は成功確率 $p$ のベルヌーイ分布に従う。

標本平均 $\overline{X}$ は「薬の効果が認められた患者の割合」を表すので、(1) ではベルヌーイ分布の平均・分散から求める。(2) では標本比率を用いて、正規近似による母比率 $p$ の信頼区間を作る。

解法1

(1)

$i$ 番目の患者に薬の効果が認められる確率は $p$ であるから、

$$ P(X_i=1)=p,\qquad P(X_i=0)=1-p $$

である。

したがって、$X_i$ の平均は

$$ E(X_i)=1\cdot p+0\cdot(1-p)=p $$

である。また、

$$ E(X_i^2)=1^2\cdot p+0^2\cdot(1-p)=p $$

より、

$$ V(X_i)=E(X_i^2)-{E(X_i)}^2=p-p^2=p(1-p) $$

となる。

標本平均は

$$ \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i $$

である。$X_1,X_2,\dots,X_n$ は無作為に選ばれた患者についての確率変数なので、互いに独立で同じ分布に従うとみなせる。

よって、標本平均の平均は

$$ E(\overline{X}) =E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) =\frac{1}{n}\cdot np =p $$

である。

また、独立性より分散は和に分けられるから、

$$ V(\overline{X}) =V\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) =\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}V(X_i) =\frac{1}{n^2}\cdot np(1-p) =\frac{p(1-p)}{n} $$

である。

(2)

標本の大きさは $400$、薬の効果が認められた人数は $320$ であるから、標本比率は

$$ \overline{X}=\frac{320}{400}=0.8 $$

である。

標本の大きさ $400$ は十分大きいので、標本比率 $\overline{X}$ は近似的に正規分布に従うとみなせる。母比率 $p$ の推定では、分散中の $p$ を標本比率 $\overline{X}=0.8$ で置き換える。

したがって、標準誤差は

$$ \begin{aligned} \sqrt{\frac{\overline{X}(1-\overline{X})}{400}} &= \sqrt{\frac{0.8\cdot 0.2}{400}} \\ \sqrt{0.0004} \\ 0.02 \end{aligned} $$

である。

標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について

$$ P(Z<-1.96)=0.025 $$

であるから、対称性より

$$ P(-1.96<Z<1.96)=0.95 $$

である。

よって、信頼度 $95%$ の信頼区間は

$$ 0.8\pm 1.96\cdot 0.02 $$

で与えられる。

計算すると、

$$ 1.96\cdot 0.02=0.0392 $$

であるから、

$$ 0.8-0.0392=0.7608,\qquad 0.8+0.0392=0.8392 $$

となる。

小数第 $3$ 位を四捨五入すると、

$$ 0.76\leqq p\leqq 0.84 $$

である。

解説

この問題では、$X_i$ がベルヌーイ分布に従うことを正しく見抜くことが重要である。$X_i$ は薬が効いた人数そのものではなく、各患者について効果が認められたかどうかを表す $0,1$ の確率変数である。

標本平均 $\overline{X}$ は、通常の平均であると同時に、この問題では「効果が認められた割合」を表す。そのため、母比率 $p$ の推定量として自然に使える。

信頼区間では、母比率 $p$ は未知であるため、標準誤差の計算では標本比率 $0.8$ を代入する。ここで $p(1-p)$ の $p$ にそのまま未知の $p$ を残すと、具体的な数値の信頼区間が出せない。

答え

(1)

$$ E(\overline{X})=p $$

$$ V(\overline{X})=\frac{p(1-p)}{n} $$

(2)

母比率 $p$ の信頼度 $95%$ の信頼区間は

$$ 0.76\leqq p\leqq 0.84 $$