数学B 検定 問題 2 解説

注意

画像内では「次の結果を得た」とあるが、10匹の測定値が確認できない。以下は、10匹の測定値を $x_1,x_2,\ldots,x_{10}$ として、検定の手順を示す解答解説である。数値的な結論を出すには、標本平均 $\overline{x}$ の値が必要である。

方針・初手

母集団は平均 $65$ g、標準偏差 $4.8$ g の正規分布に従うとされている。特別な飼料によって「異常な変化」があったかを調べるので、平均が $65$ g から変化したかどうかを両側検定で判定する。

母標準偏差 $4.8$ g が既知として与えられているため、標本平均を用いた正規検定を行う。

解法1

帰無仮説と対立仮説を

$$ H_0:\mu=65,\qquad H_1:\mu\ne 65 $$

とおく。

ここで $\mu$ は、特別な飼料で飼養した場合の3か月後の平均体重である。

標本数は $n=10$ であり、母標準偏差は $\sigma=4.8$ である。標本平均を

$$ \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{10}}{10} $$

とすると、帰無仮説 $H_0$ のもとで

$$ Z=\frac{\overline{x}-65}{4.8/\sqrt{10}} $$

は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。

有意水準 $5%$ の両側検定なので、棄却域は

$$ |Z|>1.96 $$

である。

したがって、

$$ \left|\frac{\overline{x}-65}{4.8/\sqrt{10}}\right|>1.96 $$

ならば、帰無仮説 $H_0$ を棄却する。

これを標本平均の条件に直すと、

$$ |\overline{x}-65|>1.96\cdot \frac{4.8}{\sqrt{10}} $$

である。

右辺を計算すると、

$$ 1.96\cdot \frac{4.8}{\sqrt{10}} \fallingdotseq 2.98 $$

であるから、棄却域は

$$ |\overline{x}-65|>2.98 $$

すなわち

$$ \overline{x}<62.02\quad \text{または}\quad \overline{x}>67.98 $$

である。

よって、10匹の測定値から求めた標本平均 $\overline{x}$ がこの範囲に入れば、特別な飼料によって体重に有意な変化があったと判断する。

一方、

$$ 62.02\leqq \overline{x}\leqq 67.98 $$

であれば、帰無仮説は棄却されず、有意水準 $5%$ では特別な飼料によって体重に異常な変化があったとはいえない。

解説

この問題では「異常な変化」とあるため、体重が増えたか減ったかのどちらか一方だけを見るのではなく、平均が $65$ g からずれたかどうかを見る両側検定を行う。

また、標準偏差 $4.8$ g が既知の母集団標準偏差として与えられているので、$t$ 検定ではなく正規分布による検定を用いる。標本数が $10$ と小さくても、母集団が正規分布であり、母標準偏差が既知であるため、標本平均を標準化して正規検定を行える。

この画像では10匹の具体的な測定値が確認できないため、最終的な棄却・採択の判定はできない。必要なのは、10匹の体重から標本平均 $\overline{x}$ を計算し、それが $62.02$ g 未満または $67.98$ g 超であるかを調べることである。

答え

10匹の標本平均を $\overline{x}$ g とすると、有意水準 $5%$ の両側検定の棄却域は

$$ \overline{x}<62.02\quad \text{または}\quad \overline{x}>67.98 $$

である。

したがって、標本平均がこの範囲に入れば、この飼料はねずみの体重に異常な変化を与えたと考えられる。

ただし、画像内では10匹の測定値が確認できないため、具体的な結論は判定不能である。