数学B 確率分布 問題 4 解説

方針・初手

分散は $V(Y)=E(Y^2)-{E(Y)}^2$ で求められる。表の確率の合計が $1$ であることから、まず $y$ を $x$ で表し、分散を $x$ の2次関数として最大値を調べる。

解法1

確率の合計は $1$ であるから、

$$ y+\frac{1}{4}+x=1 $$

より、

$$ y=\frac{3}{4}-x $$

である。

確率はすべて $0$ 以上でなければならないので、

$$ 0 \leqq x \leqq \frac{3}{4} $$

である。

次に、期待値を求める。

$$ E(Y)=0\cdot y+2\cdot\frac{1}{4}+3x $$

したがって、

$$ E(Y)=\frac{1}{2}+3x $$

また、$Y^2$ の期待値は

$$ E(Y^2)=0^2\cdot y+2^2\cdot\frac{1}{4}+3^2x $$

より、

$$ E(Y^2)=1+9x $$

である。

よって、分散は

$$ \begin{aligned} V(Y) &=E(Y^2)-{E(Y)}^2 \\ &=1+9x-\left(\frac{1}{2}+3x\right)^2 \\ &=1+9x-\left(\frac{1}{4}+3x+9x^2\right) \\ &=-9x^2+6x+\frac{3}{4} \end{aligned} $$

となる。

これは $x$ についての上に凸の2次関数である。平方完成すると、

$$ \begin{aligned} V(Y) &=-9\left(x^2-\frac{2}{3}x\right)+\frac{3}{4} \\ &=-9\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{7}{4} \end{aligned} $$

である。

したがって、分散は

$$ x=\frac{1}{3} $$

のとき最大となる。この値は $0 \leqq x \leqq \frac{3}{4}$ を満たすので、条件にも合っている。

解説

この問題では、表に $x,y$ の2つの文字があるが、確率の合計が $1$ であるため、独立に動かせる文字は実質的に $x$ だけである。

分散を最大にする問題では、直接「ばらつき」を考えるよりも、定義

$$ V(Y)=E(Y^2)-{E(Y)}^2 $$

を使って $x$ の関数にするのが確実である。最後は上に凸の2次関数の最大問題に帰着する。

答え

$$ x=\frac{1}{3} $$