数学B 確率分布 問題 3 解説

方針・初手

二項分布 $B(n,p)$ では、平均と分散がそれぞれ

$$ np,\quad np(1-p) $$

で表される。まず平均と分散の条件から $n,p$ を決める。その後、二項分布の確率

$$ P_k={}_nC_k p^k(1-p)^{n-k} $$

を用いて、$\dfrac{P_4}{P_3}$ を計算する。

解法1

$X$ は二項分布 $B(n,p)$ に従うとする。

平均が $6$、分散が $2$ であるから、

$$ np=6 $$

かつ

$$ np(1-p)=2 $$

である。

$np=6$ を分散の式に代入すると、

$$ 6(1-p)=2 $$

より、

$$ 1-p=\frac{1}{3} $$

したがって、

$$ p=\frac{2}{3} $$

である。

さらに $np=6$ より、

$$ n\cdot \frac{2}{3}=6 $$

だから、

$$ n=9 $$

である。

よって、$X$ は二項分布 $B\left(9,\dfrac{2}{3}\right)$ に従う。

ここで、

$$ P_k={}_9C_k\left(\frac{2}{3}\right)^k\left(\frac{1}{3}\right)^{9-k} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{P_4}{P_3} &= \frac{{}_9C_4\left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{3}\right)^5} {{}_9C_3\left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^6} \end{aligned} $$

である。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{P_4}{P_3} &= \frac{{}_9C_4}{{}_9C_3} \cdot \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} \end{aligned} $$

となる。

まず、

$$ \begin{aligned} \frac{{}_9C_4}{{}_9C_3} &= \frac{126}{84} \\ \frac{3}{2} \end{aligned} $$

また、

$$ \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=2 $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{P_4}{P_3} &= \frac{3}{2}\cdot 2 \\ 3 \end{aligned} $$

である。

解説

二項分布では、平均 $np$ と分散 $np(1-p)$ の関係から、まず成功確率 $p$ を求めるのが初手である。

この問題では、分散を平均で割ると

$$ 1-p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $$

となるため、すぐに $p=\dfrac{2}{3}$ が分かる。その後 $np=6$ から $n=9$ を求めればよい。

また、$\dfrac{P_4}{P_3}$ はそれぞれの確率を直接計算してもよいが、比の形で処理すると多くの因子が約分されるため、計算が短くなる。

答え

$$ \frac{P_4}{P_3}=3 $$