数学B 確率分布 問題 6 解説

方針・初手

$X$ は、出た目の和が素数なら $1$、そうでなければ $0$ をとる確率変数である。したがって、まず

$$ P(X=1) $$

を求めればよい。$X$ は $0,1$ のみをとる確率変数なので、平均と分散はベルヌーイ分布として計算できる。

解法1

2つのさいころの出方は全部で

$$ 6 \times 6 = 36 $$

通りであり、すべて同様に確からしい。

出た目の和が素数となるのは、和が $2,3,5,7,11$ のときである。それぞれの出方の数は次のようになる。

したがって、出た目の和が素数となる出方の総数は

$$ 1+2+4+6+2=15 $$

である。よって

$$ P(X=1)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12} $$

となる。

また、$X=0$ となる確率は

$$ P(X=0)=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} $$

である。

$X$ は $1$ または $0$ の値しかとらないので、平均は

$$ E(X)=1\cdot \frac{5}{12}+0\cdot \frac{7}{12}=\frac{5}{12} $$

である。

分散は

$$ V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2 $$

を用いる。$X$ は $0,1$ のみをとるので $X^2=X$ である。したがって

$$ E(X^2)=E(X)=\frac{5}{12} $$

となるから、

$$ V(X)=\frac{5}{12}-\left(\frac{5}{12}\right)^2 =\frac{5}{12}-\frac{25}{144} =\frac{60-25}{144} =\frac{35}{144} $$

である。

次に、1つめのさいころの目が $4$ であったとする。このとき、2つめのさいころの目を $k$ とすると、和は

$$ 4+k $$

である。

$k=1,2,3,4,5,6$ に対して、和はそれぞれ

$$ 5,6,7,8,9,10 $$

となる。このうち素数は $5,7$ である。

したがって、$X=1$ となるのは

$$ k=1,3 $$

の2通りである。2つめのさいころの出方は6通りで同様に確からしいから、求める確率は

$$ \frac{2}{6}=\frac{1}{3} $$

である。

解説

この問題の中心は、$X$ が $0$ または $1$ だけをとる確率変数であることに気づく点である。このような確率変数では、$P(X=1)=p$ とおくと

$$ E(X)=p,\qquad V(X)=p(1-p) $$

となる。

したがって、平均や分散の計算そのものよりも、まず「和が素数となる場合の数」を正確に数えることが重要である。

また、(2)では「1つめのさいころが $4$」という条件が与えられているため、全36通りではなく、2つめのさいころの6通りだけを考える。条件付きの場面では、標本空間が変わる点に注意する必要がある。

答え

(1)

$$ E(X)=\frac{5}{12},\qquad V(X)=\frac{35}{144} $$

(2)

$$ \frac{1}{3} $$