数学B 確率分布 問題 7 解説

方針・初手

各硬貨について、表が出ればその金額を加え、裏なら $0$ 円を加えると考える。

期待値は「各硬貨の金額 $\times$ 表が出る確率」をすべて足せばよい。確率は、合計金額が $100$ 円以上になる場合を直接数えるより、$100$ 円未満になる場合を余事象で数えると処理しやすい。

解法1

10円硬貨2枚、50円硬貨2枚、100円硬貨2枚をそれぞれ区別して考える。

1枚の硬貨について、表が出る確率は $\dfrac{1}{2}$ である。したがって、各硬貨の金額の期待値への寄与は、その金額の半分である。

よって、合計金額の期待値は

$$ 2\cdot 10\cdot \frac{1}{2}+2\cdot 50\cdot \frac{1}{2}+2\cdot 100\cdot \frac{1}{2} $$

である。これを計算すると

$$ 10+50+100=160 $$

となる。

したがって、合計金額の期待値は $160$ 円である。

次に、合計金額が $100$ 円以上になる確率を求める。

6枚の硬貨の表裏の出方はすべて同様に確からしく、その総数は

$$ 2^6=64 $$

通りである。

ここで、合計金額が $100$ 円未満になる場合を数える。

100円硬貨が1枚でも表なら、合計金額は少なくとも $100$ 円になる。したがって、$100$ 円未満になるには、100円硬貨2枚がともに裏でなければならない。

このとき、10円硬貨2枚と50円硬貨2枚だけで合計が $100$ 円未満になる場合を考える。

50円硬貨が2枚とも表なら、それだけで $100$ 円になるので不適である。よって、50円硬貨の表の枚数は $0$ 枚または $1$ 枚である。

（i） 50円硬貨の表が $0$ 枚のとき

10円硬貨は何枚表でも、合計は最大で $20$ 円であり、$100$ 円未満である。

この場合の出方は

$$ 1\cdot 4=4 $$

通りである。

（ii） 50円硬貨の表が $1$ 枚のとき

10円硬貨は何枚表でも、合計は最大で

$$ 50+20=70 $$

円であり、$100$ 円未満である。

50円硬貨2枚のうち表になる1枚の選び方は $2$ 通り、10円硬貨2枚の表裏の出方は $4$ 通りなので、この場合の出方は

$$ 2\cdot 4=8 $$

通りである。

したがって、100円硬貨2枚がともに裏で、かつ合計が $100$ 円未満になる出方は

$$ 4+8=12 $$

通りである。

よって、合計金額が $100$ 円未満になる確率は

$$ \frac{12}{64}=\frac{3}{16} $$

である。

したがって、合計金額が $100$ 円以上になる確率は、その余事象より

$$ 1-\frac{3}{16}=\frac{13}{16} $$

である。

解説

期待値は、すべての場合を列挙しなくても、各硬貨ごとの期待値を足せば求められる。これは期待値の線形性によるもので、硬貨の表裏が独立であることを細かく使わなくてもよい。

一方、確率については、合計金額が $100$ 円以上になる場合を直接数えると場合分けが増えやすい。100円硬貨が1枚でも表なら条件を満たすため、むしろ「100円未満になる場合」を数える方が簡潔である。

答え

$$ [エ]=160 $$

$$ [オ]=\frac{13}{16} $$