数学B 確率分布 問題 8 解説

方針・初手

$X_i$ は「事象 $A$ が起きたかどうか」だけで値が決まる2値の確率変数である。したがって、まず $X_i$ をベルヌーイ型の確率変数として扱う。

また、$Y=X_1+\cdots+X_n$ は独立な確率変数の和であるから、平均と分散はそれぞれ和として計算できる。$W$ については、$Z=100n-Y$ とおけば $W$ を $Y$ だけの式に直してから平均を求める。

解法1

各 $X_i$ は、事象 $A$ が起きたとき $100$、起きなかったとき $50$ をとる。よって確率分布は次の通りである。

$X_i$	$50$	$100$
確率	$1-p$	$p$

したがって、$X_i$ の平均は

$$ E(X_i)=50(1-p)+100p=50(1+p) $$

である。

また、$X_i=50+50B_i$ とおくと、$B_i$ は成功確率 $p$ のベルヌーイ型確率変数である。したがって

$$ V(X_i)=50^2V(B_i)=2500p(1-p) $$

である。

次に

$$ Y=X_1+X_2+\cdots+X_n $$

であり、反復試行より $X_1,\ldots,X_n$ は独立である。したがって

$$ E(Y)=\sum_{i=1}^n E(X_i)=50n(1+p) $$

である。

また、独立性より分散も和になるので

$$ V(Y)=\sum_{i=1}^n V(X_i)=2500np(1-p) $$

である。

さらに

$$ Z=100n-(X_1+\cdots+X_n)=100n-Y $$

であるから、

$$ W=YZ=Y(100n-Y) $$

である。したがって、$W$ を $Y$ の関数として表すと

$$ W=-Y^2+100nY $$

である。

ここで

$$ E(W)=E(-Y^2+100nY)=-E(Y^2)+100nE(Y) $$

である。また

$$ E(Y^2)=V(Y)+{E(Y)}^2 $$

より、

$$ E(Y^2)=2500np(1-p)+{50n(1+p)}^2 $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} E(W) &=100n\cdot 50n(1+p)-\left\{2500np(1-p)+2500n^2(1+p)^2\right\} \\ &=2500\left\{2n^2(1+p)-np(1-p)-n^2(1+p)^2\right\} \\ &=2500\left\{n^2-np(1-p)-n^2p^2\right\} \\ &=2500\left\{n^2-np-n(n-1)p^2\right\}. \end{aligned} $$

ここで

$$ f(p)=n^2-np-n(n-1)p^2 $$

とおく。$0\leqq p\leqq 1$ において考える。

$n=1$ のとき、

$$ f(p)=1-p $$

であるから、最大となるのは $p=0$ のときである。

$n\geqq 2$ のとき、

$$ f'(p)=-n-2n(n-1)p $$

であり、$0\leqq p\leqq 1$ では常に

$$ f'(p)<0 $$

である。したがって $f(p)$ は $0\leqq p\leqq 1$ で単調減少するので、最大となるのは $p=0$ のときである。

このとき

$$ E(W)=2500n^2 $$

である。

解説

この問題では、$X_i$ を直接扱うよりも、事象 $A$ が起きたかどうかを表すベルヌーイ型確率変数に変換すると見通しがよい。

$X_i=50+50B_i$ と見れば、平均と分散はすぐに求まる。また、$Y$ は $X_i$ の和であるため、独立性を用いて平均と分散を計算するのが基本である。

$W$ については、$Z=100n-Y$ であることに気づけば、

$$ W=Y(100n-Y) $$

と表せる。あとは $E(Y)$ と $V(Y)$ から $E(Y^2)$ を求めればよい。

最大化では、$E(W)$ が $p$ の2次式になる。定義域 $0\leqq p\leqq 1$ を必ず確認し、端点も含めて判断することが重要である。

答え

(1)

$X_i$	$50$	$100$
確率	$1-p$	$p$

(2)

$$ E(X_i)=50(1+p) $$

$$ V(X_i)=2500p(1-p) $$

(3)(i)

$$ E(Y)=50n(1+p) $$

$$ V(Y)=2500np(1-p) $$

(3)(ii)

$$ W=Y(100n-Y)=-Y^2+100nY $$

$$ E(W)=2500\left\{n^2-np-n(n-1)p^2\right\} $$

(3)(iii)

$$ p=0 $$

のとき、$W$ の平均は最大となり、その最大値は

$$ 2500n^2 $$

である。