一橋大学 2005年 文系 第5問 問題

$A$ と $B$ の $2$ 人があるゲームを繰り返し行う。$1$ 回ごとのゲームで $A$ が $B$ に勝つ確率は $p$，$B$ が $A$ に勝つ確率は $1-p$ であるとする。

$n$ 回目のゲームで初めて $A$ と $B$ の双方が $4$ 勝以上になる確率を $x_n$ とする。

(1) $x_n$ を $p$ と $n$ で表せ。

(2) $p=\dfrac{1}{2}$ のとき，$x_n$ を最大にする $n$ を求めよ。