一橋大学 2007年 文系 第3問 問題

放物線 $y=ax^2+bx\ (a>0)$ を $C$ とする。$C$ 上に異なる $2$ 点 $P,Q$ をとり，その $x$ 座標をそれぞれ $p,q\ (0<p<q)$ とする。

(1) 線分 $OQ$ と $C$ で囲まれた部分の面積が，$\triangle OPQ$ の面積の $\dfrac{3}{2}$ 倍であるとき，$p$ と $q$ の関係を求めよ。ただし，$O$ は原点を表す。

(2) $Q$ を固定して $P$ を動かす。$\triangle OPQ$ の面積が最大となるときの $p$ を $q$ で表せ。また，そのときの $\triangle OPQ$ の面積と，線分 $OQ$ と $C$ で囲まれた部分の面積との比を求めよ。