一橋大学 2007年 文系 第2問 問題

数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ を

$a_1=2,\quad a_{n+1}=4a_n$

$b_1=3,\quad b_{n+1}=b_n+2a_n$

$c_1=4,\quad c_{n+1}=\dfrac{c_n}{4}+a_n+b_n$

と順に定める。放物線 $y=a_nx^2+2b_nx+c_n$ を $H_n$ とする。

(1) $H_n$ は $x$ 軸と $2$ 点で交わることを示せ。

(2) $H_n$ と $x$ 軸の交点を $P_n,Q_n$ とする。$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P_kQ_k$ を求めよ。