一橋大学 2009年 文系 第5問 問題

$X,Y,Z$ と書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつある。この中から $1$ 枚のカードが選ばれたとき，$xy$ 平面上の点 $P$ を次の規則にしたがって移動する。

・$X$ のカードが選ばれたとき，$P$ を $x$ 軸の正の方向に $1$ だけ移動する。

・$Y$ のカードが選ばれたとき，$P$ を $y$ 軸の正の方向に $1$ だけ移動する。

・$Z$ のカードが選ばれたとき，$P$ は移動せずそのままの位置にとどまる。

(1) $n$ を正の整数とする。最初，点 $P$ を原点の位置におく。$X$ のカードと $Y$ のカードの $2$ 枚から無作為に $1$ 枚を選び，$P$ を，上の規則にしたがって移動するという試行を $n$ 回繰り返す。

(i) $n$ 回の試行の後に $P$ が到達可能な点の個数を求めよ。

(ii) $P$ が到達する確率が最大の点をすべて求めよ。

(2) $n$ を正の $3$ の倍数とする。最初，点 $P$ を原点の位置におく。$X$ のカード，$Y$ のカード，$Z$ のカードの $3$ 枚のカードから無作為に $1$ 枚を選び，$P$ を，上の規則にしたがって移動するという試行を $n$ 回繰り返す。

(i) $n$ 回の試行の後に $P$ が到達可能な点の個数を求めよ。

(ii) $P$ が到達する確率が最大の点をすべて求めよ。