一橋大学 2009年 文系 第4問 問題

一辺の長さが $2$ の正三角形 $ABC$ を平面上におく。$\triangle ABC$ を $1$ つの辺に関して $180^\circ$ 折り返すという操作を繰り返し行う。

辺 $BC$ に関する折り返しを $T_A$，辺 $CA$ に関する折り返しを $T_B$，辺 $AB$ に関する折り返しを $T_C$ とする。

$\triangle ABC$ は，最初 $3$ 点 $A,B,C$ がそれぞれ平面上の $3$ 点 $O,B',C'$ の上に置かれているとする。

(1) $T_A,T_C,T_B,T_C,T_A$ の順に折り返し操作を施したときの頂点 $A$ の移り先を $P$ とする。また，$T_A,T_C,T_B,T_A,T_C,T_B,T_A$ の順に折り返し操作を施したときの頂点 $A$ の移り先を $Q$ とする。$\theta=\angle POQ$ とするとき，$\cos\theta$ の値を求めよ。

(2) 整数 $k,\ell$ に対して，$\overrightarrow{OR}=3k\overrightarrow{OB'}+3\ell\overrightarrow{OC'}$ により定められる点 $R$ は，$T_A,T_B,T_C$ の折り返し操作を組み合わせることにより，点 $A$ の移り先になることを示せ。