一橋大学 2010年 文系 第1問 問題

実数 $p,q,r$ に対して，$3$ 次多項式 $f(x)$ を $f(x)=x^3+px^2+qx+r$ と定める。

実数 $a,c$，および $0$ でない実数 $b$ に対して，$a+bi$ と $c$ はいずれも方程式 $f(x)=0$ の解であるとする。ただし，$i$ は虚数単位を表す。

(1) $y=f(x)$ のグラフにおいて，点 $(a,f(a))$ における接線の傾きを $s(a)$ とし，点 $(c,f(c))$ における接線の傾きを $s(c)$ とする。$a\ne c$ のとき，$s(a)$ と $s(c)$ の大小を比較せよ。

(2) さらに，$a,c$ は整数であり，$b$ は $0$ でない整数であるとする。次を証明せよ。

(i) $p,q,r$ はすべて整数である。

(ii) $p$ が $2$ の倍数であり，$q$ が $4$ の倍数であるならば，$a,b,c$ はすべて $2$ の倍数である。