一橋大学 2012年 文系 第3問 問題

定数 $a,b,c,d$ に対して，平面上の点 $(p,q)$ を点 $(ap+bq,cp+dq)$ に移す操作を考える。ただし，$(a,b,c,d)\ne(1,0,0,1)$ である。

$k$ を $0$ でない定数とする。放物線 $C:y=x^2-x+k$ 上のすべての点は，この操作によって $C$ 上に移る。

(1) $a,b,c,d$ を求めよ。

(2) $C$ 上の点 $A$ における $C$ の接線と，点 $A$ をこの操作によって移した点 $A'$ における $C$ の接線は，原点で直交する。このときの $k$ の値および点 $A$ の座標をすべて求めよ。