一橋大学 2015年 文系 第1問 問題

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$n$ 以下の正の整数のうち，$n$ との最大公約数が $1$ となるものの個数を $E(n)$ で表す。たとえば

$E(2)=1,\quad E(3)=2,\quad E(4)=2,\quad\cdots,\quad E(10)=4,\quad\cdots$

である。

(1) $E(1024)$ を求めよ。

(2) $E(2015)$ を求めよ。

(3) $m$ を正の整数とし，$p$ と $q$ を異なる素数とする。$n=p^m q^m$ のとき $\dfrac{E(n)}{n}\geqq\dfrac{1}{3}$ が成り立つことを示せ。