一橋大学 2015年 文系 第5問 問題

次の [I]，[II] のいずれか一方を選択して解答せよ。なお，解答用紙の所定の欄にどちらを選択したかを記入すること。

[I] 数列 $\{a_k\}$ を $a_k=k+\cos\left(\dfrac{k\pi}{6}\right)$ で定める。$n$ を正の整数とする。

(1) $\displaystyle\sum_{k=1}^{12n}a_k$ を求めよ。

(2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{12n}a_k^2$ を求めよ。

[II] $a,b,c$ は異なる $3$ つの正の整数とする。次のデータは $2$ つの科目 $X$ と $Y$ の試験を受けた $10$ 人の得点をまとめたものである。

科目 $X$ の得点は $a,c,a,b,b,a,c,c,b,c$，科目 $Y$ の得点は $a,b,b,b,a,a,b,a,b,a$ である。

科目 $X$ の得点の平均値と科目 $Y$ の得点の平均値とは等しいとする。

(1) 科目 $X$ の得点の分散を $s_X^2$，科目 $Y$ の得点の分散を $s_Y^2$ とする。$\dfrac{s_X^2}{s_Y^2}$ を求めよ。

(2) 科目 $X$ の得点と科目 $Y$ の得点の相関係数を，四捨五入して小数第 $1$ 位まで求めよ。

(3) 科目 $X$ の得点の中央値が $65$，科目 $Y$ の得点の標準偏差が $11$ であるとき，$a,b,c$ の組を求めよ。