一橋大学 2017年 文系 第5問 問題

$xy$ 平面上の直線 $x=y+1$ を $k$，$yz$ 平面上の直線 $y=z+1$ を $l$，$zx$ 平面上の直線 $z=x+1$ を $m$ とする。

直線 $k$ 上に点 $P_1(1,0,0)$ をとる。

$l$ 上の点 $P_2$ を $P_1P_2\perp l$ となるように定め，$m$ 上の点 $P_3$ を $P_2P_3\perp m$ となるように定め，$k$ 上の点 $P_4$ を $P_3P_4\perp k$ となるように定める。

以下，同様の手順で $l,m,k,l,m,k,\cdots$ 上の点 $P_5,P_6,P_7,P_8,P_9,P_{10},\cdots$ を定める。

(1) 点 $P_2,P_3$ の座標を求めよ。

(2) 線分 $P_nP_{n+1}$ の長さを $n$ を用いて表せ。