一橋大学 2022年 文系 第5問 問題

中身の見えない $2$ つの箱があり，$1$ つの箱には赤玉 $2$ つと白玉 $1$ つが入っており，もう $1$ つの箱には赤玉 $1$ つと白玉 $2$ つが入っている。

どちらかの箱を選び，選んだ箱の中から玉を $1$ つ取り出して元に戻す，という操作を繰り返す。

(1) $1$ 回目は箱を無作為に選び，$2$ 回目以降は，前回取り出した玉が赤玉なら前回と同じ箱，前回取り出した玉が白玉なら前回とは異なる箱を選ぶ。$n$ 回目に赤玉を取り出す確率 $p_n$ を求めよ。

(2) $1$ 回目は箱を無作為に選び，$2$ 回目以降は，前回取り出した玉が赤玉なら前回と同じ箱，前回取り出した玉が白玉なら箱を無作為に選ぶ。$n$ 回目に赤玉を取り出す確率 $q_n$ を求めよ。