一橋大学 2025年 文系 第1問 問題

正の整数 $n$ に対し，$n$ の正の約数の個数を $d(n)$ とする。

たとえば，$6$ の正の約数は $1,\ 2,\ 3,\ 6$ の $4$ 個なので，$d(6)=4$ である。また，

$f(n)=\dfrac{d(n)}{\sqrt{n}}$

とする。

(1) $f(2025)$ を求めよ。

(2) 素数 $p$ と正の整数 $k$ の組で $f(p^k)\leqq f(p^{k+1})$ を満たすものを求めよ。

(3) $f(n)$ の最大値と，そのときの $n$ を求めよ。