東京大学 2026年 文系 第4問 問題

$k$ を実数とし、座標平面上の曲線 $C$ を $y=x^3-kx$ で定める。$C$ 上の $2$ 点 $P,Q$ に対する以下の条件 $(*)$ を考える。

条件 $(*)$：原点 $O$、点 $P$、点 $Q$ は相異なり、$C$ の $O,P,Q$ における接線のうち、どの $2$ 本も交わり、そのなす角はすべて $\dfrac{\pi}{3}$ となる。

ただし、$2$ 直線のなす角は $0$ 以上 $\dfrac{\pi}{2}$ 以下の範囲で考えるものとする。

(1) $-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{6}$ とする。$\tan\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ を $\tan\theta$ を用いて表せ。

(2) 条件 $(*)$ を満たす $P,Q$ が存在するような $k$ の範囲を求めよ。

(3) $k$ が (2) で定まる範囲にあるとする。$P,Q$ が条件 $(*)$ を満たすように動くとき、$C$ の $O,P,Q$ における接線によって囲まれる三角形の面積 $S$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とおく。ただし、$3$ 本の接線が $1$ 点で交わるときは $S=0$ とする。$M=4m$ となる $k$ の値を求めよ。