東京大学 2026年 理系 第5問 問題

複素数平面上の原点を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とする。複素数 $\alpha$ と $C$ 上の点 $P(z)$ に対し、$w=(z-\alpha)^3$ とおく。$P$ が $C$ 上を動くときの点 $Q(w)$ の軌跡を $D$ とする。

(1) $\alpha=-3$ とし、$w$ の偏角を $\theta$ とおく。$P$ が $C$ 上を動くとき、$\sin\theta$ がとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $\alpha$ が次の条件を満たすように動く。

条件：$D$ は実軸の正の部分および負の部分の両方と共有点を持つ。

複素数平面上の点 $R(\alpha)$ が動きうる範囲の面積を求めよ。