数学1 関数 問題 10 解説

方針・初手

絶対値を含む関数のグラフや定積分の問題である。まずは絶対値記号の中身の正負に着目して場合分けを行い、絶対値記号を外すことが基本方針となる。

(1) では、与えられた $p$ の値に対して丁寧に場合分けを行い、$f(x)$ を区分的に定義された一次関数として表す。

(2) では、積分区間が $-1 \leqq x \leqq 1$ であることに着目すると、$|x+1|$ と $|x-1|$ の符号は常に一定となるため、計算量が大幅に削減できる。

(3) は、(2) で求めた $p$ の2次関数の最小値を、与えられた $p$ の変域内で求めるだけの平易な問題である。

解法1

(1)

$p = \frac{1}{2}$ のとき、$f(x)$ は以下のように表される。

$$f(x) = |x + 1| + |x - 1| + \left|x - \frac{1}{2}\right|$$

絶対値の中身が $0$ となる $x = -1, \frac{1}{2}, 1$ を境に場合分けを行う。

(i) $x < -1$ のとき

$x+1 < 0, x-1 < 0, x-\frac{1}{2} < 0$ であるから、

$$f(x) = -(x+1) - (x-1) - \left(x-\frac{1}{2}\right) = -3x + \frac{1}{2}$$

(ii) $-1 \leqq x < \frac{1}{2}$ のとき

$x+1 \geqq 0, x-1 < 0, x-\frac{1}{2} < 0$ であるから、

$$f(x) = (x+1) - (x-1) - \left(x-\frac{1}{2}\right) = -x + \frac{5}{2}$$

(iii) $\frac{1}{2} \leqq x < 1$ のとき

$x+1 \geqq 0, x-1 < 0, x-\frac{1}{2} \geqq 0$ であるから、

$$f(x) = (x+1) - (x-1) + \left(x-\frac{1}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$

(iv) $1 \leqq x$ のとき

$x+1 \geqq 0, x-1 \geqq 0, x-\frac{1}{2} \geqq 0$ であるから、

$$f(x) = (x+1) + (x-1) + \left(x-\frac{1}{2}\right) = 3x - \frac{1}{2}$$

以上より、$y = f(x)$ のグラフは、4つの点 $\left(-1, \frac{7}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$, $\left(1, \frac{5}{2}\right)$ を折れ点とし、下にとつな折れ線グラフとなる。

(2)

求める面積 $S$ は、

$$S = \int_{-1}^{1} f(x) dx = \int_{-1}^{1} (|x + 1| + |x - 1| + |x - p|) dx$$

ここで、積分区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ において、常に $x+1 \geqq 0$ かつ $x-1 \leqq 0$ である。 したがって、$|x+1| = x+1$, $|x-1| = -(x-1) = -x+1$ と絶対値を外すことができる。

よって、被積分関数は次のように簡単になる。

$$f(x) = (x+1) + (-x+1) + |x - p| = 2 + |x - p|$$

これを積分する。$0 \leqq p < 1$ より、積分区間内に $x = p$ が含まれるため、絶対値 $|x-p|$ を外すために $x = p$ を境に積分区間を分割する。

$$S = \int_{-1}^{1} (2 + |x - p|) dx$$

$$= \int_{-1}^{p} \{2 - (x - p)\} dx + \int_{p}^{1} \{2 + (x - p)\} dx$$

$$= \int_{-1}^{p} (-x + p + 2) dx + \int_{p}^{1} (x - p + 2) dx$$

$$= \left[ -\frac{1}{2}x^2 + px + 2x \right]_{-1}^{p} + \left[ \frac{1}{2}x^2 - px + 2x \right]_{p}^{1}$$

$$= \left( -\frac{1}{2}p^2 + p^2 + 2p \right) - \left( -\frac{1}{2} - p - 2 \right) + \left( \frac{1}{2} - p + 2 \right) - \left( \frac{1}{2}p^2 - p^2 + 2p \right)$$

$$= \left( \frac{1}{2}p^2 + 2p \right) - \left( -p - \frac{5}{2} \right) + \left( -p + \frac{5}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2}p^2 + 2p \right)$$

$$= \frac{1}{2}p^2 + 2p + p + \frac{5}{2} - p + \frac{5}{2} + \frac{1}{2}p^2 - 2p$$

$$= p^2 + 5$$

(3)

(2) より、$S = p^2 + 5$ である。 $p$ の定義域は $0 \leqq p < 1$ であるから、この関数は区間内で単調に増加する。

したがって、$S$ は $p=0$ のとき最小値をとる。 そのときの最小値は、

$$S = 0^2 + 5 = 5$$

解法2

(2)の定積分の計算に関する別解

被積分関数 $f(x) = 2 + |x - p|$ を見出した後の計算において、定積分の幾何学的意味（面積）を利用する。

$$\int_{-1}^{1} (2 + |x - p|) dx = \int_{-1}^{1} 2 dx + \int_{-1}^{1} |x - p| dx$$

右辺第1項は、底辺が $2$、高さが $2$ の長方形の面積であるから、

$$\int_{-1}^{1} 2 dx = 2 \times 2 = 4$$

右辺第2項は、$y = |x - p|$ のグラフと $x$ 軸、直線 $x = -1, x = 1$ で囲まれた図形の面積である。 これは、底辺 $p - (-1) = p + 1$、高さ $p + 1$ の直角二等辺三角形と、底辺 $1 - p$、高さ $1 - p$ の直角二等辺三角形の面積の和に等しい。

$$\int_{-1}^{1} |x - p| dx = \frac{1}{2}(p + 1)^2 + \frac{1}{2}(1 - p)^2$$

$$= \frac{1}{2}(p^2 + 2p + 1 + 1 - 2p + p^2)$$

$$= \frac{1}{2}(2p^2 + 2) = p^2 + 1$$

したがって、求める面積 $S$ は、

$$S = 4 + (p^2 + 1) = p^2 + 5$$

解説

絶対値を含む関数の定積分は、まず絶対値記号を外すことが鉄則である。(2)において、すべての絶対値を機械的に場合分けしようとすると非常に煩雑になるが、積分区間が指定されていることに着目し、$|x+1|$ と $|x-1|$ の符号が常に確定することを見抜ければ、計算量を大幅に減らすことができる。

また、解法2で示したように、一次式の絶対値の定積分は、直角三角形の面積として図形的に処理すると計算ミスを防ぎやすく、非常に有効なテクニックである。

答え

• (1) 頂点 $\left(-1, \frac{7}{2}\right)$, $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$, $\left(1, \frac{5}{2}\right)$ を結び、両端が傾き $-3, 3$ の半直線となる折れ線グラフ
• (2) $S = p^2 + 5$
• (3) $p = 0$ のとき最小値 $5$