東北大学 2023年 文系 第3問 解説

方針・初手

$f(x)=x^2+2ax-3$ は上に開く2次関数である。したがって、区間 $[a,a+3]$ における最大値は端点でとる。

一方、最小値は頂点 $x=-a$ が区間 $[a,a+3]$ の中にあるかどうかで場合分けすればよい。まず端点での値と頂点の位置を調べる。

解法1

端点での値は

$$ f(a)=a^2+2a^2-3=3a^2-3 $$

$$ \begin{aligned} f(a+3) &=(a+3)^2+2a(a+3)-3\\ &=a^2+6a+9+2a^2+6a-3\\ &=3a^2+12a+6 \end{aligned} $$

である。

また、平方完成すると

$$ f(x)=(x+a)^2-a^2-3 $$

となるので、頂点は $x=-a$、頂点での値は

$$ f(-a)=-a^2-3 $$

である。

（1） $M(a)$ を求める

上に開く2次関数なので、区間 $[a,a+3]$ における最大値は端点 $x=a,\ a+3$ のいずれかでとる。

そこで $f(a)$ と $f(a+3)$ の大小を比べると、

$$ \begin{aligned} f(a+3)-f(a) &=(3a^2+12a+6)-(3a^2-3)\\ &=12a+9 \end{aligned} $$

である。

よって、

• $a\le -\dfrac{3}{4}$ のとき $f(a+3)\le f(a)$
• $a\ge -\dfrac{3}{4}$ のとき $f(a+3)\ge f(a)$

となるから、

$$ M(a)= \begin{cases} 3a^2-3 & \left(a\le -\dfrac{3}{4}\right)\\ 3a^2+12a+6 & \left(a\ge -\dfrac{3}{4}\right) \end{cases} $$

である。

（2） $m(a)$ を求める

最小値は、頂点 $x=-a$ が区間 $[a,a+3]$ に入るかどうかで決まる。

頂点が区間内にある条件は

$$ a\le -a\le a+3 $$

である。これを解くと、

$$ \begin{aligned} a\le -a &\iff 2a\le 0 \iff a\le 0,\\ -a\le a+3 &\iff -2a\le 3 \iff a\ge -\dfrac{3}{2} \end{aligned} $$

より、

$$ -\dfrac{3}{2}\le a\le 0 $$

である。

したがって、（i） $-\dfrac{3}{2}\le a\le 0$ のときは頂点が区間内にあるので、

$$ m(a)=f(-a)=-a^2-3 $$

である。

次に、（ii） $a<-\dfrac{3}{2}$ のときは頂点が区間の右側にある。このとき区間内では $f(x)$ は単調減少だから、最小値は右端 $x=a+3$ でとる。よって

$$ m(a)=f(a+3)=3a^2+12a+6 $$

である。

また、（iii） $a>0$ のときは頂点が区間の左側にある。このとき区間内では $f(x)$ は単調増加だから、最小値は左端 $x=a$ でとる。よって

$$ m(a)=f(a)=3a^2-3 $$

である。

以上より、

$$ m(a)= \begin{cases} 3a^2+12a+6 & \left(a\le -\dfrac{3}{2}\right)\\ -a^2-3 & \left(-\dfrac{3}{2}\le a\le 0\right)\\ 3a^2-3 & \left(a\ge 0\right) \end{cases} $$

となる。

（3） $m(a)$ の最小値を求める

上の結果を各範囲で調べる。

(i)

$a\le -\dfrac{3}{2}$ のとき

$$ m(a)=3a^2+12a+6=3(a+2)^2-6 $$

であるから、この範囲での最小値は $a=-2$ のとき

$$ -6 $$

である。

(ii)

$-\dfrac{3}{2}\le a\le 0$ のとき

$$ m(a)=-a^2-3 $$

である。これは下に開く2次関数なので、この区間での最小値は端でとる。したがって

$$ m\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{21}{4},\qquad m(0)=-3 $$

より、この範囲での最小値は

$$ -\dfrac{21}{4} $$

である。

(iii)

$a\ge 0$ のとき

$$ m(a)=3a^2-3\ge -3 $$

であり、最小値は $a=0$ のとき

$$ -3 $$

である。

以上を比べると、全体での最小値は

$$ -6 $$

である。

解説

この問題の要点は、2次関数が上に開くことから、最大値は必ず端点で決まると見抜くことである。

一方、最小値は頂点の位置次第である。頂点が区間内にあれば頂点の値、区間外にあれば頂点に近い方の端点の値が最小になる。この判定を正確に行うことが重要である。

特に （2） では、頂点 $x=-a$ が区間 $[a,a+3]$ に入る条件を不等式で丁寧に処理するのが典型である。

答え

$$ M(a)= \begin{cases} 3a^2-3 & \left(a\le -\dfrac{3}{4}\right)\\ 3a^2+12a+6 & \left(a\ge -\dfrac{3}{4}\right) \end{cases} $$

$$ m(a)= \begin{cases} 3a^2+12a+6 & \left(a\le -\dfrac{3}{2}\right)\\ -a^2-3 & \left(-\dfrac{3}{2}\le a\le 0\right)\\ 3a^2-3 & \left(a\ge 0\right) \end{cases} $$

$$ m(a)\text{ の最小値は }-6\quad(a=-2) $$