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東京大学 2021年文系第3問解説

方針・初手

（1）については、2つの放物線の共有点の $x$ 座標が満たす方程式を立て、それが $-1 < x < 0$ と $0 < x < 1$ にそれぞれ1つずつ解をもつための条件を求める。「解の配置問題」としてグラフの端点での正負を考える。

（2）については、(1)で求めた領域内の点 $(a, b)$ が存在して $y = x^2 + ax + b$ を満たすような点 $(x, y)$ の範囲を求める。$x$ を任意の実数として固定し、$y$ を $a, b$ の式とみたときのとりうる値の範囲を考える。

解法1

(1)

放物線 $y = x^2 + ax + b$ と $y = -x^2$ から $y$ を消去して整理すると、次の2次方程式を得る。

$$ 2x^2 + ax + b = 0 $$

$f(x) = 2x^2 + ax + b$ とおく。 2つの放物線が、一方は $-1 < x < 0$、他方は $0 < x < 1$ の範囲で交わるための条件は、2次方程式 $f(x) = 0$ がこれらの範囲にそれぞれ1つずつ実数解をもつことである。

$y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線であるから、求める条件は

$$ f(-1) > 0 $$

かつ

$$ f(0) < 0 $$

かつ

$$ f(1) > 0 $$

である。それぞれ計算すると、

$$ f(-1) = 2 - a + b > 0 \iff b > a - 2 $$

$$ f(0) = b < 0 $$

$$ f(1) = 2 + a + b > 0 \iff b > -a - 2 $$

したがって、点 $(a, b)$ のとりうる範囲は、不等式 $b > a - 2$ かつ $b < 0$ かつ $b > -a - 2$ を満たす領域である。

(2)

点 $(x, y)$ が放物線 $C$ の通りうる範囲にある条件は、(1)で求めた領域 $D$ 内に $y = x^2 + ax + b$ を満たす点 $(a, b)$ が存在することである。

$x$ を任意の実数として固定し、$a, b$ についての関数を次のように定める。

$$ g(a, b) = ax + b + x^2 $$

点 $(a, b)$ が領域 $D$ 内を動くとき、直線 $y = g(a, b)$ のとりうる値の範囲を考えればよい。(1)より、領域 $D$ は3つの直線 $b = a - 2, b = 0, b = -a - 2$ で囲まれた三角形の内部であり、境界線は含まない。この三角形の頂点を $P, Q, R$ とすると、それぞれの座標は $P(-2, 0), Q(2, 0), R(0, -2)$ である。

$g(a, b)$ は $a, b$ についての1次式であるから、その値は領域の端点である3頂点での値の最小値から最大値までの間（両端を含まない）を動く。各頂点における $g(a, b)$ の値を計算する。

$$ y_P = g(-2, 0) = -2x + x^2 = x^2 - 2x $$

$$ y_Q = g(2, 0) = 2x + x^2 = x^2 + 2x $$

$$ y_R = g(0, -2) = -2 + x^2 = x^2 - 2 $$

$x$ の値によってこれらの大小関係が変わるため、差をとって比較する。

$$ y_Q - y_P = 4x $$

$$ y_P - y_R = -2x + 2 = -2(x - 1) $$

$$ y_Q - y_R = 2x + 2 = 2(x + 1) $$

これらをもとに、$x$ の値で場合分けを行う。

(i)

$x < -1$ のとき $y_Q < y_R < y_P$ となるため、最小値は $y_Q$、最大値は $y_P$ である。したがって、$x^2 + 2x < y < x^2 - 2x$

(ii)