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数学1 関数問題 20 解説

方針・初手

実数 $x$ を整数部分と小数部分に分けて、$x = m + \alpha$ （$m$ は整数、$0 \leqq \alpha < 1$）とおくのが、ガウス記号を含む方程式・不等式や証明問題における基本方針である。この設定により $[x] = m$ となり、扱いやすくなる。また、(3) ではさらに整数 $m$ を $n$ で割った商と余りに分けることで、式内のガウス記号の値を具体的に評価できるようになる。

解法1

(1)

$\frac{14}{3} < x < 5$ より、$4.66\cdots < x < 5$ であるから、$[x] = 4$ である。また、$x$ の範囲の各辺に $\frac{3}{7}$ を掛けると、

$$ \frac{3}{7} \cdot \frac{14}{3} < \frac{3}{7} x < \frac{3}{7} \cdot 5 $$

すなわち、

$$ 2 < \frac{3}{7} x < \frac{15}{7} = 2.14\cdots $$

したがって、$\left[ \frac{3}{7} x \right] = 2$ となる。さらに、$[x] = 4$ より、

$$ \left[ \frac{3}{7} [x] \right] = \left[ \frac{12}{7} \right] = [1.71\cdots] = 1 $$

である。以上より、

$$ \left[ \frac{3}{7} x \right] - \left[ \frac{3}{7} [x] \right] = 2 - 1 = 1 $$

(2)

実数 $x$ を、$x = m + \alpha$ （$m$ は整数、$0 \leqq \alpha < 1$）とおく。このとき $[x] = m$ である。 $m$ を $2$ で割った商を $q$、余りを $r$ （$r = 0, 1$）とすると、$m = 2q + r$ と表せる。

$$ \left[ \frac{1}{2} [x] \right] = \left[ \frac{m}{2} \right] = \left[ \frac{2q+r}{2} \right] = \left[ q + \frac{r}{2} \right] $$

$q$ は整数であり、$0 \leqq \frac{r}{2} < 1$ であるから、

$$ \left[ \frac{1}{2} [x] \right] = q $$

一方、

$$ \left[ \frac{1}{2} x \right] = \left[ \frac{m+\alpha}{2} \right] = \left[ \frac{2q+r+\alpha}{2} \right] = \left[ q + \frac{r+\alpha}{2} \right] $$

ここで、$0 \leqq r \leqq 1$ および $0 \leqq \alpha < 1$ より、$0 \leqq r+\alpha < 2$ であるから、

$$ 0 \leqq \frac{r+\alpha}{2} < 1 $$

が成り立つ。$q$ は整数であるから、

$$ \left[ \frac{1}{2} x \right] = q $$

したがって、すべての実数 $x$ について、

$$ \left[ \frac{1}{2} x \right] - \left[ \frac{1}{2} [x] \right] = q - q = 0 $$

が示された。

(3)

(2) と同様に、$x = m + \alpha$ （$m$ は整数、$0 \leqq \alpha < 1$）とおく。$[x] = m$ である。 $m$ を正の整数 $n$ で割った商を $q$、余りを $r$ とすると、$m = nq + r$ （$q$ は整数、$0 \leqq r \leqq n-1$）と表せる。

$$ \left[ \frac{1}{n} [x] \right] = \left[ \frac{m}{n} \right] = \left[ \frac{nq+r}{n} \right] = \left[ q + \frac{r}{n} \right] $$

$q$ は整数であり、$0 \leqq r \leqq n-1$ より $0 \leqq \frac{r}{n} < 1$ であるから、

$$ \left[ \frac{1}{n} [x] \right] = q $$

となる。一方、

$$ \left[ \frac{1}{n} x \right] = \left[ \frac{m+\alpha}{n} \right] = \left[ \frac{nq+r+\alpha}{n} \right] = \left[ q + \frac{r+\alpha}{n} \right] $$

ここで、$0 \leqq r \leqq n-1$ および $0 \leqq \alpha < 1$ より、辺々を足して $0 \leqq r+\alpha < n$ となる。ゆえに、

$$ 0 \leqq \frac{r+\alpha}{n} < 1 $$

が成り立つ。$q$ は整数であるから、

$$ \left[ \frac{1}{n} x \right] = q $$

したがって、

$$ \left[ \frac{1}{n} x \right] - \left[ \frac{1}{n} [x] \right] = q - q = 0 $$

となる。

解法2

(3) は不等式を用いて直接示すこともできる（(2) は $n=2$ の特別な場合である）。

実数 $x$ に対して、$\left[ \frac{1}{n} [x] \right] = k$ （$k$ は整数）とおく。ガウス記号の定義より、

$$ k \leqq \frac{[x]}{n} < k+1 $$

各辺に $n$ を掛けると、

$$ nk \leqq [x] < n(k+1) $$

ここで、$[x]$ は整数であり、$nk$、$n(k+1)$ も整数であるから、

$$ [x] \leqq n(k+1) - 1 $$

が成り立つ。また、ガウス記号の定義より $[x] \leqq x < [x] + 1$ であるから、

$$ x < [x] + 1 \leqq n(k+1) $$

すなわち、$x < n(k+1)$ である。さらに、$nk \leqq [x] \leqq x$ であるから、合わせて

$$ nk \leqq x < n(k+1) $$

となる。各辺を $n$ で割ると、

$$ k \leqq \frac{x}{n} < k+1 $$

ガウス記号の定義より、これは $\left[ \frac{x}{n} \right] = k$ であることを意味する。したがって、$\left[ \frac{x}{n} \right] = \left[ \frac{1}{n} [x] \right]$ が成り立つため、

$$ \left[ \frac{1}{n} x \right] - \left[ \frac{1}{n} [x] \right] = 0 $$

となる。

解説

ガウス記号 $[x]$ を含む問題の典型的な処理として、$x = m + \alpha$ （$m$ は整数、$0 \leqq \alpha < 1$）とおく手法が非常に有効である。(2)、(3) のようにさらに $n$ で割った形が含まれている場合は、整数 $m$ を「$n$ で割った商と余り」で表現することで、余りの部分が $0 \leqq \frac{\text{余り}}{n} < 1$ となりガウス記号の計算が容易になる。解法2で示したように、不等式評価のみで $\left[ \frac{x}{n} \right] = \left[ \frac{[x]}{n} \right]$ を導くことも可能であり、これも有名な性質として知られている。