数学1 二次関数 問題 3 解説

方針・初手

与えられた2点を通るという条件から、$x$ と $y$ の値を関数の式に代入して方程式を立て、係数 $b, c$ を $a$ を用いて表す。その後、平方完成によって頂点の $x$ 座標を $a$ の式で表し、$x < -2$ という条件から $a$ についての不等式を解く。

解法1

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）のグラフが点 $(-2, -1)$ を通るから、

$$ -1 = 4a - 2b + c \quad \cdots \text{①} $$

また、点 $(2, 3)$ を通るから、

$$ 3 = 4a + 2b + c \quad \cdots \text{②} $$

② $-$ ① より、

$$ 4 = 4b $$

よって、$b = 1$ である。

② $+$ ① より、

$$ 2 = 8a + 2c $$

よって、$c = 1 - 4a$ である。

これらを元の2次関数の式に代入すると、

$$ y = ax^2 + x + 1 - 4a $$

頂点の $x$ 座標を求めるため、右辺を平方完成する。

$$ \begin{aligned} y &= a\left(x^2 + \frac{1}{a}x\right) + 1 - 4a \\ &= a\left(x + \frac{1}{2a}\right)^2 - a\left(\frac{1}{2a}\right)^2 + 1 - 4a \\ &= a\left(x + \frac{1}{2a}\right)^2 - \frac{1}{4a} + 1 - 4a \end{aligned} $$

したがって、この放物線の頂点の $x$ 座標は $-\frac{1}{2a}$ である。

問題の条件より、頂点の $x$ 座標が $-2$ より小さいので、

$$ -\frac{1}{2a} < -2 $$

両辺に $-1$ を掛けると、不等号の向きが反転する。

$$ \frac{1}{2a} > 2 $$

ここで両辺に正の数である $a^2$（$a \neq 0$ より $a^2 > 0$）を掛けて、分母を払う。

$$ \frac{a^2}{2a} > 2a^2 $$

$$ \frac{1}{2}a > 2a^2 $$

両辺を2倍して移項すると、

$$ 4a^2 - a < 0 $$

$$ a(4a - 1) < 0 $$

これを解くと、

$$ 0 < a < \frac{1}{4} $$

この範囲には $a = 0$ が含まれないため、2次関数であるという前提（$a \neq 0$）を適切に満たしている。

解説

通る点の座標が与えられている場合は、それをそのまま関数の式に代入して未定係数を減らすのが定石である。本問では2点が与えられているため、$b, c$ の2文字を消去し、残る1文字の $a$ の式に帰着できる。

不等式 $-\frac{1}{2a} < -2$ を解く際、うっかり両辺にそのまま $a$ を掛けてしまわないように注意が必要である。$a$ の符号が正か負かによって不等号の向きが変わるためである。解答では正の数であることが確定している $a^2$ を両辺に掛ける処理を行ったが、次のように場合分けを用いて解くこともできる。

$a > 0$ のとき、両辺に $2a$ を掛けると $-1 < -4a$ となり、$a < \frac{1}{4}$ を得る。前提と合わせて $0 < a < \frac{1}{4}$ となる。

$a < 0$ のとき、両辺に $2a$ を掛けると不等号の向きが変わり $-1 > -4a$ となる。これを解くと $a > \frac{1}{4}$ となり、前提 $a < 0$ を満たす解は存在しない。

いずれのアプローチでも等価に正しく解を導くことができる。

答え

$$ 0 < a < \frac{1}{4} $$