数学1 二次関数 問題 13 解説

方針・初手

与えられた2次関数を平方完成し、頂点の座標と軸の位置を把握する。

定義域 $0 \leqq x \leqq 3$ と軸の位置関係から、最大値および最小値をとる $x$ の値を特定する。

$a$ の符号によってグラフの凸の向き（上に凸か下に凸か）が変わるため、$a > 0$ と $a < 0$ のそれぞれで最大値と最小値を $a, b$ を用いて表し、値域の条件 $1 \leqq y \leqq 9$ と連立して方程式を解く。

解法1

与えられた関数 $y = ax^2 - 2ax + a - b$ を平方完成する。

$$ y = a(x^2 - 2x) + a - b = a(x - 1)^2 - a + a - b = a(x - 1)^2 - b $$

この2次関数のグラフは、軸が直線 $x = 1$、頂点が点 $(1, -b)$ の放物線である。

定義域 $0 \leqq x \leqq 3$ に軸 $x = 1$ は含まれており、軸から遠い方の端点は $x = 3$ である。

$x = 0$ のとき $y = a - b$

$x = 3$ のとき $y = 9a - 6a + a - b = 4a - b$

(1) $a > 0$ の場合

$a > 0$ のとき、グラフは下に凸の放物線となる。

定義域 $0 \leqq x \leqq 3$ において、関数は $x = 1$ で最小、 $x = 3$ で最大となる。

最小値は $x = 1$ のとき $-b$

最大値は $x = 3$ のとき $4a - b$

値域が $1 \leqq y \leqq 9$ であるから、以下の連立方程式が成り立つ。

$$ \begin{cases} -b = 1 \\ 4a - b = 9 \end{cases} $$

これを解くと、$b = -1$、$4a - (-1) = 9$ より $4a = 8$ すなわち $a = 2$ となる。

これは $a > 0$ の条件を満たす。

よって、$a = 2, b = -1$ である。

(2) $a < 0$ の場合

$a < 0$ のとき、グラフは上に凸の放物線となる。

定義域 $0 \leqq x \leqq 3$ において、関数は $x = 1$ で最大、 $x = 3$ で最小となる。

最大値は $x = 1$ のとき $-b$

最小値は $x = 3$ のとき $4a - b$

値域が $1 \leqq y \leqq 9$ であるから、以下の連立方程式が成り立つ。

$$ \begin{cases} 4a - b = 1 \\ -b = 9 \end{cases} $$

これを解くと、$b = -9$、$4a - (-9) = 1$ より $4a = -8$ すなわち $a = -2$ となる。

これは $a < 0$ の条件を満たす。

よって、$a = -2, b = -9$ である。

解説

文字係数を含む2次関数の最大・最小に関する典型的な問題である。

2次関数の最大値・最小値を考える際は、必ず「グラフの凸の向き（上に凸か下に凸か）」「軸の位置」「定義域」の3要素を正確に把握することが重要である。

本問では、軸の位置が $x = 1$ で固定されており、定義域 $0 \leqq x \leqq 3$ に含まれているため、場合分けは2次係数 $a$ の符号によるグラフの向きのみで済む。

$x = 3$ が軸から最も遠い端点であることに気づけば、両端点の値を比較する手間を省くことができ、見通しよく解くことができる。

答え

ア：2

イ：-1

ウ：-2

エ：-9