数学1 二次関数 問題 20 解説

方針・初手

放物線の対称移動は、頂点の移動に着目する方法と、方程式の $x, y$ を置き換える方法の2通りがある。本問では「頂点の座標」のみを求めればよいため、元の放物線の頂点の座標を求めてから、その点自体の移動を追う方針が簡明である。

解法1

与えられた放物線の方程式を平方完成すると

$$ \begin{aligned} y &= x^2 - 2x - 2 \\ &= (x - 1)^2 - 3 \end{aligned} $$

となるため、元の放物線の頂点の座標は $(1, -3)$ である。

まず、この放物線を原点に関して対称移動する。頂点 $(1, -3)$ を原点に関して対称移動した点の座標は、符号が反転して $(-1, 3)$ となる。

次に、移動した放物線を直線 $y = 1$ に関して対称移動する。これに伴い、頂点 $(-1, 3)$ も直線 $y = 1$ に関して対称移動される。 このとき、 $x$ 座標は変化しないため $-1$ である。 移動後の $y$ 座標を $y'$ とすると、元の $y$ 座標 $3$ と移動後の $y$ 座標 $y'$ の中点が $y = 1$ 上にあるから

$$ \frac{3 + y'}{2} = 1 $$

これを解いて $y' = -1$ となる。

したがって、求める頂点の座標は $(-1, -1)$ である。

解法2

方程式の変形によって、移動後の放物線の式を直接求める。

元の放物線 $y = x^2 - 2x - 2$ を原点に関して対称移動した放物線の方程式は、 $x$ を $-x$ に、 $y$ を $-y$ に置き換えて

$$ -y = (-x)^2 - 2(-x) - 2 $$

すなわち

$$ y = -x^2 - 2x + 2 $$

となる。

次に、この放物線を直線 $y = 1$ に関して対称移動する。 放物線上の点 $(X, Y)$ を直線 $y = 1$ に関して対称移動した点を $(x, y)$ とすると

$$ \begin{cases} x = X \\ \frac{Y + y}{2} = 1 \end{cases} $$

が成り立つ。これを $X, Y$ について解くと

$$ \begin{cases} X = x \\ Y = 2 - y \end{cases} $$

となる。これらを $Y = -X^2 - 2X + 2$ に代入すると

$$ 2 - y = -x^2 - 2x + 2 $$

整理して

$$ y = x^2 + 2x $$

この方程式を平方完成すると

$$ y = (x + 1)^2 - 1 $$

となるため、求める放物線の頂点の座標は $(-1, -1)$ である。

解説

放物線の移動問題では、「図形上の代表点（頂点）の移動を追う」か「軌跡の考え方を用いて方程式の文字を置き換える」かの2つの方針がある。

本問のように放物線の頂点に関する情報のみが問われている場合は、解法1のように頂点の座標の移動だけを追跡する方が、計算量が少なくミスを防ぎやすい。

一方、移動後の放物線の方程式そのものが問われる場合や、放物線以外の図形（直線や円など）の移動を考える場合には、解法2のような数式の処理（ $x$ 軸、 $y$ 軸、原点、あるいは直線 $x = p$ , $y = q$ に関する対称移動における $x, y$ の置き換え）が必須となるため、両方の考え方を習熟しておくことが望ましい。

答え

$(-1, -1)$