数学1 二次関数 問題 31 解説

方針・初手

求める2次関数のグラフは $y = -3x^2$ のグラフを平行移動したものであるため、$x^2$ の係数は $-3$ である。 また、頂点が直線 $y = 3x - 1$ 上にあるという条件から、頂点の $x$ 座標を文字でおくことで、頂点の座標を1つの文字で表すことができる。これらを用いて2次関数の式を立て、通る点の座標を代入して未定係数を決定する。

解法1

求める2次関数のグラフは $y = -3x^2$ のグラフを平行移動したものであるから、$x^2$ の係数は $-3$ である。

また、頂点が直線 $y = 3x - 1$ 上にあるので、頂点の $x$ 座標を $p$ とおくと、$y$ 座標は $3p - 1$ と表せる。 すなわち、頂点の座標は $(p, 3p - 1)$ である。

したがって、求める2次関数は次のように表される。

$$ y = -3(x - p)^2 + 3p - 1 $$

このグラフが点 $(5, -46)$ を通るので、$x = 5$、$y = -46$ を代入して、

$$ -46 = -3(5 - p)^2 + 3p - 1 $$

これを展開して整理する。

$$ -46 = -3(25 - 10p + p^2) + 3p - 1 $$

$$ -46 = -75 + 30p - 3p^2 + 3p - 1 $$

$$ 3p^2 - 33p + 30 = 0 $$

両辺を $3$ で割って、

$$ p^2 - 11p + 10 = 0 $$

左辺を因数分解すると、

$$ (p - 1)(p - 10) = 0 $$

よって、$p = 1, 10$ となる。

(i) $p = 1$ のとき

頂点の座標は $(1, 2)$ となり、2次関数は、

$$ y = -3(x - 1)^2 + 2 $$

これを展開して、

$$ y = -3x^2 + 6x - 1 $$

(ii) $p = 10$ のとき

頂点の座標は $(10, 29)$ となり、2次関数は、

$$ y = -3(x - 10)^2 + 29 $$

これを展開して、

$$ y = -3x^2 + 60x - 271 $$

以上より、求める2次関数は $y = -3x^2 + 6x - 1$ と $y = -3x^2 + 60x - 271$ の2つである。

解説

2次関数の決定における典型的な問題である。 「$y = ax^2$ のグラフを平行移動したもの」という条件は、「$x^2$ の係数が $a$ である」と言い換えることができる。 また、「頂点が直線 $y = mx + n$ 上にある」という条件が与えられた場合は、頂点の座標を $(p, mp + n)$ と設定することで、文字を1種類に減らすことができる。これにより、基本形 $y = a(x - p)^2 + q$ に当てはめて式を立てることが可能になる。 最後に、グラフが通る点の座標を代入して方程式を解く際、計算ミスを防ぐために式を丁寧に展開・整理することが重要である。

答え

$y = -3x^2 + 6x - 1$

$y = -3x^2 + 60x - 271$