数学1 二次関数 問題 33 解説

方針・初手

放物線の方程式を平方完成して頂点の座標を定数 $a$ を用いて表し、それが直線の方程式を満たすという条件から $a$ の方程式を立式して解く。

解法1

放物線の方程式 $y = x^2 + ax - 2$ を平方完成する。

$$ y = \left( x + \frac{a}{2} \right)^2 - \frac{a^2}{4} - 2 $$

これより、この放物線の頂点の座標は以下のようになる。

$$ \left( -\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} - 2 \right) $$

この頂点が直線 $y = 2x - 1$ 上にあるため、直線の方程式に頂点の座標を代入すると成り立つ。

$$ -\frac{a^2}{4} - 2 = 2 \left( -\frac{a}{2} \right) - 1 $$

右辺を展開して整理する。

$$ -\frac{a^2}{4} - 2 = -a - 1 $$

両辺に $-4$ を掛けて分母を払う。

$$ a^2 + 8 = 4a + 4 $$

すべての項を左辺に移項して整理する。

$$ a^2 - 4a + 4 = 0 $$

左辺を因数分解する。

$$ (a - 2)^2 = 0 $$

したがって、これを解いて $a = 2$ を得る。

解説

2次関数のグラフの頂点を求める基本操作である平方完成と、ある点が特定の図形上にあるための条件（その点の座標が図形の方程式を満たすこと）を組み合わせた典型的な問題である。平方完成における係数の計算ミスや、方程式を解く際の符号のミスに気をつけて確実に解き切りたい。

答え

$a = 2$