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数学1 二次関数問題 37 解説

方針・初手

与えられた2次方程式の実数解の存在条件を、関数のグラフの共有点の存在条件として視覚的に捉える。問題文の誘導に従って、放物線と直線の情報を整理し、グラフをかいて条件を満たす範囲を求める。

解法1

放物線 ② の方程式 $y = x^2 - 4x + 10$ を平方完成すると、

$$ y = (x - 2)^2 + 6 $$

となる。したがって、放物線 ② の頂点の座標は $(2, 6)$ である。

次に、直線 ③ の方程式 $y = kx + \frac{k}{2}$ を $k$ について整理すると、

$$ y = k \left( x + \frac{1}{2} \right) $$

となる。これが $k$ の値によらず常に成り立つための条件は、

$$ x + \frac{1}{2} = 0 $$

すなわち $x = -\frac{1}{2}$ であり、このとき $y = 0$ となる。したがって、直線 ③ は $k$ の値にかかわらず、定点 $\left( -\frac{1}{2}, 0 \right)$ を通る。

放物線 ② と直線 ③ が接するとき、方程式 ① すなわち

$$ x^2 - (k + 4)x - \frac{k}{2} + 10 = 0 $$

は重解をもつ。この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ となるので、

$$ \begin{aligned} D &= \{-(k + 4)\}^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left( -\frac{k}{2} + 10 \right) \\ &= k^2 + 8k + 16 + 2k - 40 \\ &= k^2 + 10k - 24 \\ &= (k + 12)(k - 2) = 0 \end{aligned} $$

より、$k = -12, 2$ である。接点の $x$ 座標は、重解 $x = \frac{k + 4}{2}$ で与えられる。

(k = -12 のとき)

$x = \frac{-12 + 4}{2} = -4$ となり、$1 \leqq x \leqq 4$ の範囲にない。

(k = 2 のとき)

$x = \frac{2 + 4}{2} = 3$ となり、$1 \leqq x \leqq 4$ の範囲にある。よって、$1 \leqq x \leqq 4$ の範囲で接するときの $k$ の値は $k = 2$ である。

最後に、$1 \leqq x \leqq 4$ の範囲で放物線 ② と直線 ③ が少なくとも1つの共有点をもつような $k$ の値の範囲を求める。放物線 ② 上の $1 \leqq x \leqq 4$ の部分の両端の点は、 $x = 1$ のとき $y = 1^2 - 4 \cdot 1 + 10 = 7$ より $(1, 7)$ $x = 4$ のとき $y = 4^2 - 4 \cdot 4 + 10 = 10$ より $(4, 10)$ である。

直線 ③ は定点 $\left( -\frac{1}{2}, 0 \right)$ を通り、傾きが $k$ の直線である。定点から放物線 ② の $1 \leqq x \leqq 4$ の部分に向かって直線を引いたときの傾き $k$ のとりうる範囲を考える。

傾きが最小となるのは、直線が放物線に下側から接するときであり、このとき $k = 2$ である。（接点 $(3, 5)$ は $1 \leqq x \leqq 4$ を満たす）
傾きが最大となるのは、直線が放物線の左端の点 $(1, 7)$ を通るときであり、このとき $7 = k \left( 1 + \frac{1}{2} \right)$ より $k = \frac{14}{3}$ である。

ちなみに、右端の点 $(4, 10)$ を通るときの $k$ の値は $10 = k \left( 4 + \frac{1}{2} \right)$ より $k = \frac{20}{9}$ であり、接するときの傾きよりは大きい。以上より、求める $k$ の値の範囲は $2 \leqq k \leqq \frac{14}{3}$ である。

解説

方程式の実数解の存在範囲を、図形的な共有点の条件に翻訳して解く定石問題である。直線の式にパラメータ $k$ が含まれている場合、$k$ でくくって定点を通る直線群として捉える手法は非常に重要である。最後に $k$ の範囲を求める際は、単に端点を代入したときの値を比較するだけでなく、接する瞬間が最小値（または最大値）になる可能性があることに注意し、関数の位置関係を考慮して視覚的に確認することが不可欠である。