数学1 二次関数 問題 40 解説

方針・初手

与えられた放物線 $y = x^2 + ax + b$ に対して、問題文で指定された移動（原点に関する対称移動、続いて平行移動）を順に行い、得られた方程式を $y = -x^2 + 4x - 7$ と係数比較する。あるいは、移動後の放物線 $y = -x^2 + 4x - 7$ から出発して逆の移動を行い、元の放物線と一致させる方法や、放物線の頂点の移動のみを追跡する方法も有効である。

解法1

元の放物線の方程式を以下とする。

$$ y = x^2 + ax + b $$

これを原点に関して対称移動すると、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えればよいので、以下のようになる。

$$ -y = (-x)^2 + a(-x) + b $$

$$ y = -x^2 + ax - b $$

さらに、この放物線を $x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $6$ だけ平行移動するため、$x$ を $x - 3$ に、$y$ を $y - 6$ に置き換える。

$$ y - 6 = -(x - 3)^2 + a(x - 3) - b $$

右辺を展開して整理する。

$$ y = -(x^2 - 6x + 9) + ax - 3a - b + 6 $$

$$ y = -x^2 + 6x - 9 + ax - 3a - b + 6 $$

$$ y = -x^2 + (a + 6)x - 3a - b - 3 $$

問題の条件より、この放物線が $y = -x^2 + 4x - 7$ と一致する。すべての $x$ について成り立つための条件として、各次数の係数を比較する。

$$ a + 6 = 4 $$

$$ -3a - b - 3 = -7 $$

第1式より、$a$ の値が定まる。

$$ a = -2 $$

これを第2式に代入して $b$ を求める。

$$ -3(-2) - b - 3 = -7 $$

$$ 6 - b - 3 = -7 $$

$$ 3 - b = -7 $$

$$ b = 10 $$

よって、求める定数の値は $a = -2, b = 10$ である。

解法2

得られた放物線 $y = -x^2 + 4x - 7$ に対して、問題文の操作とは逆の順序で逆の移動を行い、元の放物線 $y = x^2 + ax + b$ と一致させる。

まず、「$x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $6$ 平行移動」の逆の操作として、$x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $-6$ だけ平行移動する。$x$ を $x + 3$ に、$y$ を $y + 6$ に置き換える。

$$ y + 6 = -(x + 3)^2 + 4(x + 3) - 7 $$

右辺を展開して整理する。

$$ y = -(x^2 + 6x + 9) + 4x + 12 - 7 - 6 $$

$$ y = -x^2 - 6x - 9 + 4x - 1 $$

$$ y = -x^2 - 2x - 10 $$

次に、「原点に関する対称移動」の逆の操作を行う。原点に関する対称移動は逆に行っても同じ操作になるため、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換える。

$$ -y = -(-x)^2 - 2(-x) - 10 $$

$$ -y = -x^2 + 2x - 10 $$

$$ y = x^2 - 2x + 10 $$

これが元の放物線 $y = x^2 + ax + b$ と一致する。係数を比較して、以下の結果を得る。

$$ a = -2 $$

$$ b = 10 $$

解法3

放物線の移動は、頂点の移動として捉えることができる。元の放物線 $y = x^2 + ax + b$ を平方完成して頂点を求める。

$$ y = \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 - \frac{a^2}{4} + b $$

この放物線の頂点の座標は $\left(-\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} + b\right)$ である。

この頂点を原点に関して対称移動すると、符号が反転し $\left(\frac{a}{2}, \frac{a^2}{4} - b\right)$ となる。

さらに、$x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $6$ だけ平行移動すると、移動後の頂点の座標は以下のようになる。

$$ \left(\frac{a}{2} + 3, \frac{a^2}{4} - b + 6\right) $$

一方で、移動後の放物線 $y = -x^2 + 4x - 7$ を平方完成して頂点を求める。

$$ y = -(x^2 - 4x) - 7 $$

$$ y = -(x - 2)^2 + 4 - 7 $$

$$ y = -(x - 2)^2 - 3 $$

この放物線の頂点の座標は $(2, -3)$ である。

2つの頂点の座標が一致しなければならないため、以下の関係式が成り立つ。

$$ \frac{a}{2} + 3 = 2 $$

$$ \frac{a^2}{4} - b + 6 = -3 $$

第1式より、$a$ を求める。

$$ \frac{a}{2} = -1 $$

$$ a = -2 $$

これを第2式に代入して $b$ を求める。

$$ \frac{(-2)^2}{4} - b + 6 = -3 $$

$$ 1 - b + 6 = -3 $$

$$ 7 - b = -3 $$

$$ b = 10 $$

解説

放物線の平行移動や対称移動の扱い方を問う基本的な問題である。式全体を置き換える方法（解法1、解法2）と、図形的特徴である頂点の移動に着目する方法（解法3）があり、どちらを用いても無理なく解くことができる。 解法2のように「逆の操作を遡る」考え方は、合成関数の逆関数を求める際などにも通じる重要な発想である。計算ミスのリスクを減らすため、自分が計算しやすいと感じる方針を選ぶとよい。

答え

$a = -2$

$b = 10$