数学3 数列･ベクトル・極限問題 1 解説

方針・初手

数列の漸化式 $a_{n+1} = pa_n + q$ と同様の形をしたベクトルの漸化式であるため、特性方程式にあたる $\vec{\alpha} = \frac{1}{2}\vec{\alpha} + \frac{1}{2}\vec{C}$ を解いて $\vec{V_{n+1}} - \vec{\alpha} = \frac{1}{2} (\vec{V_n} - \vec{\alpha})$ の形に変形し、等比数列として一般項を求めるのが基本方針である。

(2) ではベクトルの成分が具体的に与えられているため、基本となる内積 $\vec{V_1} \cdot \vec{C}$ や大きさ $|\vec{V_1}|^2$、$|\vec{C}|^2$ を計算しておく。(ア) と (イ) は (1) で求めた $\vec{V_n}$ の式を利用して計算し、(ウ) は等比数列の各項を2乗した無限等比級数の和を求める。

解法1

(1)

与えられた漸化式 $2\vec{V_{n+1}} = \vec{V_n} + \vec{C}$ の両辺を $2$ で割ると、次のように変形できる。

$$\vec{V_{n+1}} = \frac{1}{2}\vec{V_n} + \frac{1}{2}\vec{C}$$

これを $\vec{V_{n+1}} - \vec{C} = \frac{1}{2}(\vec{V_n} - \vec{C})$ と変形する。これにより、数列 $\{\vec{V_n} - \vec{C}\}$ は、初項 $\vec{V_1} - \vec{C}$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であることがわかる。

$$\vec{V_n} - \vec{C} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} (\vec{V_1} - \vec{C})$$

よって、$\vec{V_n}$ は次のように表される。

$$\vec{V_n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \vec{V_1} + \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} \vec{C}$$

(2)

与えられたベクトル $\vec{V_1} = (\cos 105^\circ, \sin 105^\circ)$、$\vec{C} = (\cos 15^\circ, -\sin 15^\circ)$ について、それぞれの大きさと内積を計算する。

$$|\vec{V_1}|^2 = \cos^2 105^\circ + \sin^2 105^\circ = 1$$

$$|\vec{C}|^2 = \cos^2 15^\circ + (-\sin 15^\circ)^2 = 1$$

内積 $\vec{V_1} \cdot \vec{C}$ は、三角関数の加法定理を用いて次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \vec{V_1} \cdot \vec{C} &= \cos 105^\circ \cos 15^\circ + \sin 105^\circ (-\sin 15^\circ) \\ &= \cos 105^\circ \cos 15^\circ - \sin 105^\circ \sin 15^\circ \\ &= \cos(105^\circ + 15^\circ) \\ &= \cos 120^\circ \\ &= -\frac{1}{2} \end{aligned}$$

(ア)

(1) の結果より、$\vec{V_n}$ と $\vec{C}$ の内積は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \vec{V_n} \cdot \vec{C} &= \left[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \vec{V_1} + \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} \vec{C} \right] \cdot \vec{C} \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} (\vec{V_1} \cdot \vec{C}) + \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} |\vec{C}|^2 \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \left(-\frac{1}{2}\right) + \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} \cdot 1 \\ &= -\left(\frac{1}{2}\right)^n + 1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^n \\ &= 1 - 3\left(\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned}$$

(イ)

(1) の途中で導いた式 $\vec{V_n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} (\vec{V_1} - \vec{C}) + \vec{C}$ を用いて、両辺の大きさを2乗する。

$$\begin{aligned} |\vec{V_n}|^2 &= \left| \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} (\vec{V_1} - \vec{C}) + \vec{C} \right|^2 \\ &= \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} |\vec{V_1} - \vec{C}|^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} (\vec{V_1} - \vec{C}) \cdot \vec{C} + |\vec{C}|^2 \end{aligned}$$

ここで、式に含まれる $|\vec{V_1} - \vec{C}|^2$ と $(\vec{V_1} - \vec{C}) \cdot \vec{C}$ の値を求める。

$$\begin{aligned} |\vec{V_1} - \vec{C}|^2 &= |\vec{V_1}|^2 - 2\vec{V_1} \cdot \vec{C} + |\vec{C}|^2 \\ &= 1 - 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 \\ &= 3 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\vec{V_1} - \vec{C}) \cdot \vec{C} &= \vec{V_1} \cdot \vec{C} - |\vec{C}|^2 \\ &= -\frac{1}{2} - 1 \\ &= -\frac{3}{2} \end{aligned}$$

これらを代入して整理する。

$$\begin{aligned} |\vec{V_n}|^2 &= \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} \cdot 3 + 2\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \left(-\frac{3}{2}\right) + 1 \\ &= 3\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} - 3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 1 \end{aligned}$$

(ウ)

(1) の結果より、$\vec{V_n} - \vec{C} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} (\vec{V_1} - \vec{C})$ であるから、その大きさの2乗は次のようになる。

$$\begin{aligned} |\vec{V_n} - \vec{C}|^2 &= \left| \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} (\vec{V_1} - \vec{C}) \right|^2 \\ &= \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} |\vec{V_1} - \vec{C}|^2 \\ &= 3\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} \end{aligned}$$

よって、数列 $\{|\vec{V_n} - \vec{C}|^2\}$ は初項 $3$、公比 $\frac{1}{4}$ の等比数列である。公比 $\frac{1}{4}$ は $-1 < \frac{1}{4} < 1$ を満たすため、求める無限等比級数は収束する。

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} |\vec{V_n} - \vec{C}|^2 &= \frac{3}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{3}{\frac{3}{4}} \\ &= 4 \end{aligned}$$

解説

ベクトルの漸化式は、成分表示に頼らずベクトルを一つの文字と見立てて式変形を行うことが鉄則である。本問のように1次式の漸化式であれば、実数の数列と同様に特性方程式を利用して等比数列に帰着させることができる。

また、内積や大きさの計算においては、初めから成分を代入すると計算が煩雑になることが多い。(2)のように、まずは基本となるベクトルの大きさ ($|\vec{V_1}|$, $|\vec{C}|$) と内積 ($\vec{V_1} \cdot \vec{C}$) を計算し、それらを用いて式を展開・計算していくアプローチをとると計算ミスを防ぎやすくなる。三角関数の内積計算において加法定理が自然に現れる点も典型的な処理である。

無限級数の問題では、収束条件（公比の絶対値が1未満であること）に言及した上で和の公式を適用することが数学的記述として望ましい。