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京都大学 1987年文系第2問解説

方針・初手

(1) は与えられた漸化式に従って、行列の積を計算する。$n=1$ を代入して $x_2, y_2$ を求め、さらに計算して $x_3, y_3$ を求める。このとき、係数行列を $A$ とおいて $A^2$ を計算してみると、非常にきれいな形になることに気づくはずである。 (2) は(1)の計算結果（行列の2乗の性質）を利用して、数列の一般項を推測する。偶数項と奇数項でそれぞれ等比数列の形になるため、場合分けをして $n \to \infty$ の極限をとる。

解法1

(1)

与えられた行列を $A = \begin{pmatrix} 1-a & -1-a \\ -1+a & -1+a \end{pmatrix}$ とおく。漸化式は $\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ と表される。

$n=1$ のとき、

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1-a & -1-a \\ -1+a & -1+a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1-a & -1-a \\ -1+a & -1+a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (1-a)p + (-1-a)q \\ (-1+a)p + (-1+a)q \end{pmatrix} \end{aligned} $$

したがって、 $x_2 = (1-a)p - (1+a)q$ $y_2 = (a-1)p + (a-1)q$ である。

次に、$x_3, y_3$ を求めるために、行列 $A^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} A^2 &= \begin{pmatrix} 1-a & -1-a \\ -1+a & -1+a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1-a & -1-a \\ -1+a & -1+a \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (1-a)^2 + (-1-a)(-1+a) & (1-a)(-1-a) + (-1-a)(-1+a) \\ (-1+a)(1-a) + (-1+a)(-1+a) & (-1+a)(-1-a) + (-1+a)^2 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

各成分を計算する。 $(1,1)$ 成分：$1 - 2a + a^2 + (1 - a^2) = 2 - 2a$ $(1,2)$ 成分：$-(1-a)(1+a) + (1+a)(1-a) = 0$ $(2,1)$ 成分：$-(1-a)^2 + (1-a)^2 = 0$ $(2,2)$ 成分：$(1-a)(1+a) + (1-a)^2 = 1 - a^2 + 1 - 2a + a^2 = 2 - 2a$

よって、$A^2 = \begin{pmatrix} 2(1-a) & 0 \\ 0 & 2(1-a) \end{pmatrix} = 2(1-a) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ となる。

これを用いると、

$$ \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \end{pmatrix} = A^2 \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1-a) & 0 \\ 0 & 2(1-a) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(1-a)p \\ 2(1-a)q \end{pmatrix} $$

したがって、 $x_3 = 2(1-a)p$ $y_3 = 2(1-a)q$ である。

(2)

(1)の計算結果より、$A^2 = 2(1-a)E$ （$E$ は単位行列）である。自然数 $k$ に対して、$n$ が奇数（$n=2k-1$）のときと偶数（$n=2k$）のときに分けて一般項を考える。

(i)

$n = 2k-1$ のとき

$$ \begin{pmatrix} x_{2k-1} \\ y_{2k-1} \end{pmatrix} = A^{2k-2} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = (A^2)^{k-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \{2(1-a)\}^{k-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} $$

よって、$x_{2k-1} = \{2(1-a)\}^{k-1} p, \quad y_{2k-1} = \{2(1-a)\}^{k-1} q$ である。

(ii)

$n = 2k$ のとき

$$ \begin{pmatrix} x_{2k} \\ y_{2k} \end{pmatrix} = A^{2k-1} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = A^{2k-2} A \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = (A^2)^{k-1} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \{2(1-a)\}^{k-1} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} $$

よって、$x_{2k} = \{2(1-a)\}^{k-1} x_2, \quad y_{2k} = \{2(1-a)\}^{k-1} y_2$ である。

ここで、$\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}$ より、

$$ -1 < -2a + 2 < 1 $$

$$ -1 < 2(1-a) < 1 $$

公比 $2(1-a)$ の絶対値が $1$ より小さいため、$\lim_{k \to \infty} \{2(1-a)\}^{k-1} = 0$ となる。したがって、奇数項・偶数項の極限はそれぞれ以下のようになる。

$$ \lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} \{2(1-a)\}^{k-1} p = 0 $$

$$ \lim_{k \to \infty} x_{2k} = \lim_{k \to \infty} \{2(1-a)\}^{k-1} x_2 = 0 $$

奇数番目と偶数番目の列がともに $0$ に収束するので、数列 $\{x_n\}$ 全体としても $0$ に収束する。すなわち、$\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ である。

同様に、$y_n$ についても、

$$ \lim_{k \to \infty} y_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} \{2(1-a)\}^{k-1} q = 0 $$

$$ \lim_{k \to \infty} y_{2k} = \lim_{k \to \infty} \{2(1-a)\}^{k-1} y_2 = 0 $$

となるため、$\lim_{n \to \infty} y_n = 0$ である。

解説

連立漸化式を行列で表した問題である。行列の累乗 $A^n$ を求めるためには、ケーリー・ハミルトンの定理を用いて次数下げを行ったり、固有値を求めて対角化したりするのが一般的である。しかし本問では、(1)で $x_3$ や $y_3$ まで計算させる誘導がついており、実際に $A^2$ を計算してみるとスカラー倍の単位行列になるという特殊な形であることがわかる。このように $A^2 = kE$ となる場合、偶数乗と奇数乗で規則性が分かれるため、(2)では $n$ が偶数か奇数かで場合分けをして極限を求める。極限値が一致することを示せば証明完了である。