数学A 条件付き確率 問題 1 解説

方針・初手

箱Cには、箱Aから移した1球と箱Bから移した1球の合計2球が入る。

箱Aから移した球が赤である確率は $3/5$、白である確率は $2/5$ である。箱Bから移した球が赤である確率は $3/7$、白である確率は $4/7$ である。

したがって、まず箱Cの中身がどのようになるかを確率で整理し、その後に箱Cから1球を取り出す操作を考えればよい。

解法1

箱Aから箱Cへ移された球が赤である事象を $A_R$、箱Bから箱Cへ移された球が赤である事象を $B_R$ とする。

それぞれ

$$ P(A_R)=\frac{3}{5},\qquad P(B_R)=\frac{3}{7} $$

であり、箱Aからの取り出しと箱Bからの取り出しは独立である。

（1） 箱Cに赤球が含まれる確率を求める。

箱Cに赤球が含まれないのは、箱Aからも箱Bからも白球が移された場合である。この確率は

$$ \frac{2}{5}\cdot \frac{4}{7}=\frac{8}{35} $$

である。

よって、箱Cに赤球が少なくとも1個含まれる確率は

$$ 1-\frac{8}{35}=\frac{27}{35} $$

である。

（2） 箱Cから1球を取り出したとき、それが赤球である確率を求める。

箱Cには、箱A由来の球と箱B由来の球が1個ずつ入っている。箱Cから1球を取り出すとき、箱A由来の球を取り出す確率も箱B由来の球を取り出す確率もそれぞれ $1/2$ である。

したがって、取り出した球が赤である確率は

$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{7} $$

である。これを計算すると

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}+\frac{3}{7}\right) &= \frac{1}{2}\left(\frac{21}{35}+\frac{15}{35}\right) \\ \frac{18}{35} \end{aligned} $$

となる。

（3） 箱Cから取り出した1球が赤球であったとき、この赤球が箱Aに入っていた赤球である確率を求める。

求める確率は、取り出した球が赤球であるという条件のもとで、その球が箱A由来である条件付き確率である。

箱Cから箱A由来の球を取り出し、かつそれが赤球である確率は

$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{10} $$

である。

一方、(2)より、箱Cから取り出した球が赤球である確率は

$$ \frac{18}{35} $$

である。

よって、条件付き確率は

$$ \begin{aligned} \frac{\frac{3}{10}}{\frac{18}{35}} &= \frac{3}{10}\cdot \frac{35}{18} \\ \frac{7}{12} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、箱Cに入る2球を「箱A由来の球」と「箱B由来の球」に分けて考えることが重要である。

(1)では「少なくとも1個赤球が含まれる」を直接数えるより、「赤球が1個も含まれない」場合の余事象を使う方が簡単である。

(2)では、箱Cの中身を場合分けしても解けるが、箱Cから取り出す球は箱A由来と箱B由来が等確率なので、由来ごとに赤である確率を平均すればよい。

(3)では、単に箱Aの赤球の割合 $3/5$ を答えてはいけない。すでに「箱Cから取り出した球が赤球であった」という情報が与えられているため、条件付き確率として処理する必要がある。

答え

(1)

$$ \frac{27}{35} $$

(2)

$$ \frac{18}{35} $$

(3)

$$ \frac{7}{12} $$